Question

Тpебуется изготовить открытый сверху цилиндpи-
ческий сосуд заданного объема V = 64π см3. Опpеде-
лить pадиус и высоту сосуда так, чтобы его повеpх-
ность была наименьшей.

Answer 1

Ответ:

Чтобы поверхность цилиндра была наименьшей, радиус будет равен 4 см, высота равна 4 см.

Пошаговое объяснение:

Тpебуется изготовить открытый сверху цилиндpический сосуд заданного объема V = 64π см3. Опpеделить pадиус и высоту сосуда так, чтобы его повеpхность была наименьшей.

Объем цилиндра равен:

$V = S_{OCH}\cdot{h}=\pi r^2h$

где r - радиус основания; h - высота цилиндра.

64π = πr²h

64 = r²h

Выразим высоту:

$\displaystyle h=\frac{64}{r^2}$

Поверхность данного цилиндра складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

Sпов = Sосн + Sбок

Sпов = πr² + 2πrh

Обозначим Sпов = S

Подставим значение h:

$\displaystyle S = \pi r^2+2\pi r\cdot\frac{64}{r^2} =\pi r^2+\frac{128\pi }{r}$

Для нахождения наименьшей поверхности, найдем производную:

$\displaystyle S'=\pi \cdot2r-\frac{128\pi }{r^2}=\frac{2\pi r^3-128\pi }{r^2} =\frac{2\pi (r^3-64)}{r^2}$

Приравняем к нулю и найдем знак производной на промежутках.

r³ - 64 = 0;  

r = 4;    r ≠ 0

Меньше нуля значения рассматривать не будем, так как радиус величина положительная.

(0)----------[4]++++++++++

• Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке будет минимум.

Значит минимальный радиус равен 4 см.

Тогда высота будет равна

$\displaystyle h=\frac{64}{r^2}=\frac{64}{16}=4\;_{(CM)}$

Чтобы поверхность цилиндра была наименьшей, радиус будет равен 4 см, высота равна 4 см.

Наименьшая площадь поверхности данного цилиндра будет равна:

Sпов = πr² + 2πrh = π · 16 + 2π · 4 · 4 = 48π (см²)