Question

обчисліть інтеграл, будь ласка
даю 40 балів

Answer 1

Ответ:

Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница    $\displaystyle \int\limits^{a}_{b}\, f(x)\, dx=F(b)-F(a)$  .

$\displaystyle 1)\ \ \int\limits_0^8\, (8\sqrt[3]{x}-3\sqrt{2x})\, dx=\int\limits_0^8(8x^{\frac{1}{3}}-3\sqrt2\, \sqrt{x})\, dx=\Big(8\cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}-3\sqrt2\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\Big)\Big|_0^8=\\\\\\=\Big(6\cdot \sqrt[3]{x^4}-2\sqrt2\cdot \sqrt{x^3} \Big)\Big|_0^8=6\cdot 2^4-2\sqrt2\cdot 16\sqrt2=96-64=32$

$\displaystyle 2)\ \ \int\limits_2^3\, \frac{dx}{3x+4}=\frac{1}{3}\, ln|3x+4|\, \Big|_2^3=\frac{1}{3}\cdot (ln13-ln10)=\frac{ln\, 1,3}{3}$

$\displaystyle 3)\ \ \int\limits^{\pi /9}_{\pi /12}\, \frac{2\, dx}{3cos^23x}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\, tg\, 3x\, \Big|_{\pi /12}^{\pi /9}=\frac{2}{9}\cdot (tg\frac{\pi}{3}-tg\frac{\pi}{4})=\frac{2}{9}\cdot (\sqrt3-1)$