Question

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), если разность пятого и третьего её членов равна 42, а разность пятого и
четвертого членов равна 30.

Answer 1

Ответ:  

$S_5=82\dfrac{12}{25 } = 82,48$

Объяснение:

Дано :

b₅ - b₃ = 42

b₅ - a₄ = 30
                   
S₅ = ?

Воспользуемся формулой для нахождения n-го члена прогрессии

$\boldsymbol{\sf b_n =b_1\cdot q^{n-1}}$

Упростим

1) b₅ - b₃ = b₁q⁴ - b₁q²

2) b₅ - b₄ = b₁q⁴ - b₁q³

Составим систему

$\left \{ \begin {array}{l} b_1q^4-b_1q^2=42 \\\\ b_1q^4 -b_1q^3 =30\end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin {array}{l} b_1q^2(q^2-1)=42 \\\\ b_1q^3( q-1) =30\end{array}$


Первое уравнение системы разделим на второе

$\displaystyle \frac{b_1q^2(q^2-1)}{b_1q^3(q-1)}=\frac{42}{30} \\\\\\ \frac{(q+1)(q-1)}{q(q-1)}=\frac{7}{5} \\\\\\ \frac{q+1}{q}=\frac{7}{5 } ~~ ; ~~q\neq 0 \\\\\\ 5q+5=7q \\\\2q=5 \\\\ q=2,5$

$b_1q^4-b_1q^2=42 \\\\ b_1(q^4-q^2) =42 \\\\ b_1=\cfrac{42}{2,5^4-2,5^2} =\cfrac{32}{25}$

Формула для нахождения суммы n-x членов прогрессии

$\boldsymbol{\sf S_n =\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }$

Найдем сумму первых пяти членов прогрессии

$S_5=\dfrac{\dfrac{32}{25} \cdot (2,5^5-1)}{2,5-1} =\dfrac{2062}{25}=82\dfrac{12}{25 }$