Question

Проведите теоретические расчеты предельной высоты гор на Земле и на Марсе и сравните их с практическими значениями.

Answer 1

Ответ:  Предельная высота гор на Земле  ≈ 11365 м.

            Предельная высота гор на Марсе  ≈  29608 м.

Объяснение:         Дано:

Предел прочности    Рmax = 10^8 Па

Плотность материала горы ρ = 2700 кг/м³

Масса Земли Мз = 6*10^24

Радиус Земли Rз = 6400 км  6,4*10^6 м

Масса Марса  Мм = 0,65*10^24

Радиус Марса Rм = 3400 км = 3,4*10^6 м

Гравитационная постоянная G = 6,674*10^-11м³/кг*с²

Найти предельные высоты гор на Земле и на Марсе.  hз - ?   hм - ?

Масса горы будет равна произведению объема горы на плотность материала горы, т.е. М = V*ρ,  здесь V – объем горы; ρ – плотность материала горы.  В первом приближении форму горы можно считать конической, тогда объем горы V = πr²h/3,  здесь r – радиус основания горы;  h -  высота горы. Таким образом, масса горы будет равна М = πr²h ρ/3, а вес (F) горы будет равен произведению массы горы на ускорение свободного падения (g) на планете,

т.е.  F = πr²hρg/3.            Давление (P), которое гора будет оказывать на поверхность планеты, равно частному от деления веса горы на площадь её основания, т.е. Р =  F/S,  здесь  S – площадь основания горы.  Так как гору мы считаем конической, то площадь её основания равна πr².  Тогда   давление равно Р = F/πr² = πr²hρg/(3πr²) = hρg/3.    Отсюда h = 3Р/ρg.

Найдем ускорения свободного падения для Земли и Марса.

Для Земли gз = G*Mз/Rз².                Для Марса gм = G*Mм/Rм².  

Максимальная высота горы на Земле может быть hз = 3Рmax/ρgз = 3Рmax Rз²/(ρ*G*Mз). Подставив числовые значения параметров, имеем: hз = 3*10^8*(6,4*10^6)²/ 2700*6,674*10^-11*6*10^24 ≈ 11365 м.

Максимальная высота горы на Марсе может быть hм = 3Рmax/ρ gм = 3Рmax Rм²/(ρ*G*Mм). Подставив числовые значения параметров, имеем: hм = 3*10^8*(3,4*10^6)²/ 2700*6,674*10^-11*0,65*10^24 ≈ 29608 м.

На Земле максимальную высоту в 8848 метров имеет гора Эверест. Как видим, её высота меньше максимально возможной.  

На Марсе максимальную абсолютную высоту в 21229  метров имеет гора Олимп. Её высота так же не превышает максимально возможной высоты для Марса.