Сторони трикутника АВС дорівнюють 10см, 17см і 21см. З вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр АМ завдовжки 15см. Знайдіть відстань від точки М до сторони ВС трикутника АВС.
Ответы
Ответ:
Розв'язання: Маємо трикутник ABC зі сторонами:
AB=17 см, BC=21 см і AC=10 см.
За властивістю трикутника: проти більшої сторони лежить більший кут.
Отже, за умовою, AD⊥(ABC), тому (за властивістю) вона перпендикулярна до кожної прямої, що належить площині ABC (трикутнику ABC).
Відстань від точки D до сторони BC трикутника – перпендикуляр опущений з точки D на пряму BC, тобто DM⊥BC.
Проведемо відрізок AM. Оскільки AD – перпендикуляр до площини ABC, то DM – похила (точка M – основа похилої), а відрізок AM – проекція похилої на площину ABC. Так як DM⊥BC, то за теоремою «про три перпендикуляри» (якщо відрізок, який проведений через основу похилої перпендикулярний до похилої, то він перпендикулярний і до її проекції, і навпаки), тобто AM⊥BC.
Звідси слідує, що AM – висота трикутника ABC, проведена до сторони BC.
Розглянемо трикутник ABC. Знайдемо його півпериметр і площу за формулою Герона (за трьома відомими сторонами):
– півпериметр ΔABC;– площа ΔABC.
Знайдемо висоту AM трикутника ABC:
Розглянемо трикутник AMD. Оскільки AD⊥(ABC), то AD⊥AM, тому ΔAMD – прямокутний (∠DAM=90), де AD=15 см – катет і AM=8 см – катет.
За теоремою Піфагора знайдемо довжину відрізка, гіпотенузи DM (відстань від точки K до сторони BC трикутника ABC):
Відповідь: 17 см – Б.