Question

Найдите косинус острого угла между прямыми АС и ВD если даны координаты точек:
А(2;4), В(3;0), С(-4;-4), D(4;-2)

Answer 1

Ответ:

cos (Ф) = √5/5

Объяснение:

Даны точки: А(2;4), В(3;0), С(-4;-4), D(4;-2)

Найти косинус острого угла между (AC) и (BD).

Решение:

Уравнения прямых по двум точкам:

(AC): (x - 2)/(-4 - 2) = (y - 4)/(-4 - 4)

(AC): (x - 2)/(-6) = (y - 4)/(-8)

Умножаем на (-2):

(AC): 4(x - 2) = 3(y - 4)

(AC): 4x - 8 = 3y - 12

(AC): 4x - 3y + 4 = 0

(BD): (x - 3)/(4 - 3) = (y - 0)/(-2 - 0)

(BD): (x - 3)/1 = y/(-2)

(BD): -2(x - 3) = y

(BD): 2x + y - 6 = 0

Получили уравнения прямых в общем виде:

(AC): 4x - 3y + 4 = 0

(BD): 2x + y - 6 = 0

Косинус угла между прямыми:

$cos(\phi)=\frac{x_1*x_2+y_1*y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}*\sqrt{x_2^2+y_2^2} } =\frac{4*2-3*1}{\sqrt{4^2+(-3)^2}*\sqrt{2^2+1^2} } =\frac{5}{5*\sqrt{5} }=\frac{\sqrt{5} }{5}$

Answer 2

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

Найдем таким образом координаты векторов $\stackrel{\rightarrow}{AC}$ и $\stackrel{\rightarrow}{BD}$:

$\stackrel{\rightarrow}{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-4 - 2; -4 - 4) = (-6; -8)$

$\stackrel{\rightarrow}{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (4 - 3; -2 - 0) = (1; -2)$

Найдем модули этих векторов. Для этого нужно извлечь корень из суммы квадратов их координат:

$|\stackrel{\rightarrow}{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}= 10$

$|\stackrel{\rightarrow}{BD}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Скалярное произведение двух векторов можно найти двумя способами:

• умножив соответствующие координаты и сложив полученные произведения;

• умножив модули векторов на косинус угла между ними.

Это значит, что:

$-6 \cdot 1 + -8\cdot (-2) = 10 \cdot \sqrt{5} \cdot cos( \angle\stackrel{\rightarrow}{AC}; \stackrel{\rightarrow}{BD})$

$10 = 10 \sqrt{5} \cdot cos( \angle\stackrel{\rightarrow}{AC}; \stackrel{\rightarrow}{BD})$

Выразим отсюда косинус угла между векторами:

$\displaystyle cos( \angle\stackrel{\rightarrow}{AC}; \stackrel{\rightarrow}{BD}) = \frac{10}{10\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив на √5 и числитель, и знаменатель: $\displaystyle \frac{1\cdot \sqrt{5} }{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} }{5}$

Значит, косинус острого угла между прямыми AC и BD равен $\displaystyle \frac{\sqrt{5} }{5}$.

Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt{5} }{5} .$