Задача 1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Точки К, L, М, N середине сторон АО, ВО, СО, DО соответственно. Сторона АВ = 24 см. Найти периметр КLМN.
Задача 2. В равнобедренной трапеции CDEF диагонали точкой пересечения делятся в отношении 3:6. Меньшее основание равно высоте и равно 6 см. Найти боковые стороны трапеции.
Ответы
Ответ:
1. Периметр КLМN равен 48 см.
2. Боковые стороны трапеции равны 3√5 см.
Пошаговое объяснение:
Требуется найти:
1. периметр КLМN;
2. боковые стороны трапеции.
1.
Дано: АВСD - ромб;
К, L, М, N - середины сторон АО, ВО, СО, DО соответственно.
АВ = 24 см.
Найти: периметр КLМN.
Решение:
- Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.
1. Рассмотрим ΔАВО.
АК = КО; BL = LO (условие)
⇒ КL - средняя линия ΔАВО.
- Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.
⇒ КL = АВ : 2 = 24 : 2 = 12 (см)
2. Аналогично
LM, MN, KN - средние линии ΔOBC, ΔDOC, ΔAOD соответственно.
- Стороны ромба равны.
⇒ LM = MN = KN = 12 (см)
3. Найдем периметр КLМN.
- Периметр ромба - сумма длин всех его сторон.
Р(КLМN) = КL + LM + MN + KN
Так как все стороны равны, то
Р(КLМN) = 12 · 4 = 48 (см)
Периметр КLМN равен 48 см.
2.
Дано: CDEF - равнобедренная трапеция.
ЕО : ОС = 3 : 6
DE = 6 см;
ЕН = 6 см - высота.
Найти: CD и EF.
Решение:
1. Рассмотрим ΔDEO и ΔCOF
- Вертикальные угла равны.
⇒ ∠DOE = ∠COF (вертикальные)
∠EDO = ∠OFC (накрест лежащие при DE || CF и секущей DF)
⇒ ΔDEO ~ ΔCOF (по двум углам)
Запишем отношения сходственных сторон:
2. Рассмотрим ΔНЕF - прямоугольный.
- В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований.
⇒ HF = (CF - DE) : 2 = (12 - 6) : 2 = 3 (см)
FH = 6 см.
По теореме Пифагора:
EF² = EH² + HF²
EF² = 36 + 9 = 45
EF = 3√5 см
Трапеция равнобедренная
⇒ CD = EF = 3√5 (см)
Боковые стороны трапеции равны 3√5 см.
