Question

Доказать методом математической индукции при натуральных n

Answer 1

Ответ:

3)

$1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \ldots + (2n - 1)^{3} = n^{2}(2n^{2} - 1)$

$n = 1; 1^{3} = 1 = 1^{2}(2 \cdot 1^{2} - 1) = 1(2 \cdot 1 - 1) = 2 - 1 = 1$

$n = k; \boxed{ 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \ldots + (2k - 1)^{3} = k^{2}(2k^{2} - 1)}$ - пусть верно

$n = k + 1;$

$\underbrace{1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \ldots + (2k - 1)^{3}}_{k^{2}(2k^{2} - 1)} + (2(k + 1) - 1)^{3}= (k + 1)^{2}(2(k + 1)^{2} - 1)$

$k^{2}(2k^{2} - 1)} + (2(k + 1) - 1)^{3}= (k + 1)^{2}(2(k + 1)^{2} - 1)$

-----------------------------------------------------------------------------------------------

а)

$2(k + 1) - 1 = 2k + 2 - 1= 2k + 1$

б)

$2(k + 1)^{2} - 1 = 2(k^{2} + 2k + 1) - 1 = 2k^{2} + 4k + 2 - 1 = 2k^{2} + 4k + 1$

-------------------------------------------------------------------------------------------------

$k^{2}(2k^{2} - 1)} + (2k + 1)^{3}= (k + 1)^{2}(2k^{2} + 4k + 1)$

-----------------------------------------------------------------------------------------

в)

$(2k + 1)^{3} = (2k + 1)^{2}(2k + 1) = (2k + 1)(4k^{2} + 4k + 1) =$

$= 8k^{3} + 8k^{2} + 2k + 4k^{2} + 4k + 1 = 8k^{3} + 12k^{2} + 6k + 1$

г)

$k^{2}(2k^{2} - 1)} = 2k^{4} - k^{2}$

д)

$(k + 1)^{2}(2k^{2} + 4k + 1) =(k^{2} + 2k + 1)(2k^{2} + 4k + 1)=$

$= 2k^{4} + 4k^{3} + k^{2} + 4k^{3} + 8k^{2} + 2k + 2k^{2} + 4k + 1=$

$= 2k^{4} +8k^{3} + 11k^{2} + 6k + 1$

-----------------------------------------------------------------------------------

$2k^{4} - k^{2} + 8k^{3} + 12k^{2} + 6k + 1 = 2k^{4} +8k^{3} + 11k^{2} + 6k + 1$

$2k^{4} +8k^{3} + 11k^{2} + 6k + 1 = 2k^{4} +8k^{3} + 11k^{2} + 6k + 1$

Так как правую и левую часть тождества

$1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + \ldots + (2n - 1)^{3} = n^{2}(2n^{2} - 1)$

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению, тогда

$2k^{4} +8k^{3} + 11k^{2} + 6k + 1 = 2k^{4} +8k^{3} + 11k^{2} + 6k + 1$

первоначально утверждение доказано методом математической индукции.

4)

$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \ldots+ \frac{1}{(4n - 3)(4n + 3)} = \frac{n}{4n + 1}$

$n = 1; \displaystyle \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5}$

$n = k;\boxed{ \displaystyle \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \ldots+ \frac{1}{(4k - 3)(4k + 3)} = \frac{k}{4k + 1}}$ -пусть верно

$n = k + 1;$

$\underbrace{\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \ldots+ \frac{1}{(4k - 3)(4k + 3)}}_{\dfrac{k}{4k + 1}} + \dfrac{1}{(4(k + 1) - 3)(4(k + 1) + 1)} =$

$= \dfrac{k + 1}{4(k + 1) + 1}$

$\dfrac{k}{4k + 1} + \dfrac{1}{(4(k + 1) - 3)(4(k + 1) + 1)} = \dfrac{k + 1}{4(k + 1) + 1}$

------------------------------------------------------------------------------------

а)

$\dfrac{1}{(4(k + 1) - 3)(4(k + 1) + 1)} = \dfrac{1}{(4k + 4 - 3)(4k + 4 + 1)} = \dfrac{1}{(4k + 1)(4k + 5)}$

б)

$\dfrac{k + 1}{4(k + 1) + 1} = \dfrac{k + 1}{4k + 4 + 1} = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

----------------------------------------------------------------------------------------

$\dfrac{k}{(4k + 1)} + \dfrac{1}{(4k + 1)(4k + 5)} = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

$\dfrac{1}{(4k + 1)} \cdot \bigg( \dfrac{k}{1} + \dfrac{1}{4k + 5} \bigg) = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

$\dfrac{1}{(4k + 1)} \cdot \bigg( \dfrac{k(4k + 5)}{4k + 5} + \dfrac{1}{4k + 5} \bigg) = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

$\dfrac{1}{(4k + 1)} \cdot \bigg( \dfrac{4k^{2} + 5k + 1}{4k + 5} \bigg) = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

-------------------------------------------------------------------------------------

в)

$4k^{2} + 5k + 1 = 0$

$D = 25 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^{2}$

$k_{1} = \dfrac{-5 + 3}{2 \cdot 4} = \dfrac{-2}{2 \cdot 4} = -\dfrac{1}{4} = -0,25$

$k_{2} = \dfrac{-5 - 3}{2 \cdot 4} = \dfrac{-8}{8} = -1$

$4k^{2} + 5k + 1 = 4(k + 0,25)(k + 1) = (4k + 1)(k + 1)$

--------------------------------------------------------------------------------------

$\dfrac{(4k + 1)(k + 1)}{(4k + 1)(4k + 5)} = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

$\dfrac{k + 1}{4k +5} = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

Так как правую и левую часть тождества

$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \ldots+ \frac{1}{(4n - 3)(4n + 3)} = \frac{n}{4n + 1}$

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению, тогда

$\dfrac{k + 1}{4k +5} = \dfrac{k + 1}{4k +5}$

первоначально утверждение доказано методом математической индукции.