Question

Доказать методом математической индукции при натуральных n

Answer 1

Ответ:

1)

$1\cdot 2 +2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n (n + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

$n = 1; 1 \cdot 2 = 2 = \dfrac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} = \dfrac{2 \cdot 3}{3} = 2$

$n = k;\boxed{ 1\cdot 2 +2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k (k + 1) = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3}}$ - пусть верно

$n = k +1;$

$\underbrace{1\cdot 2 +2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k (k + 1)}_{\dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3}} + (k + 1)(k + 1 + 1) = \dfrac{(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 +2)}{3}$

$\dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 1 + 1) = \dfrac{(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 +2)}{3}$

$\dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2) = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

$\dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + \dfrac{3(k + 1)(k + 2)}{3} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

$\dfrac{k(k + 1)(k + 2)+ 3(k + 1)(k + 2)}{3} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

$\dfrac{k(k + 1)(k + 2)+ 3(k + 1)(k + 2)}{3} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

$\dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

Так как правую и левую часть тождества

$1\cdot 2 +2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n (n + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению, тогда

$\dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

первоначально утверждение доказано методом математической индукции.

2)

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n(3n + 1) = n(n + 1)^{2}$

$n = 1; 1 \cdot 4 = 4 = 1(1 + 1)^{2} = 2^{2} = 4$

$n = k; \boxed{1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + k(3k + 1) = k(k + 1)^{2}}$ - пусть верно

$n = k + 1;$

$\underbrace{1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + k(3k + 1)}_{ k(k + 1)^{2}} + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)^{2}$

$k(k + 1)^{2} + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)^{2}$

$k(k + 1)^{2} + (k + 1)(3k + 3 + 1) = (k + 1)(k + 2)^{2}$

$(k + 1)(k(k + 1) + (3k + 4)) = (k + 1)(k + 2)^{2}$

$(k + 1)(k^{2} + k + 3k + 4) = (k + 1)(k + 2)^{2}$

$(k + 1)(k^{2} + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)^{2}$

$(k + 1)(k + 2)^{2}=(k + 1)(k + 2)^{2}$

Так как правую и левую часть тождества

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n(3n + 1) = n(n + 1)^{2}$

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению, тогда

$(k + 1)(k + 2)^{2}=(k + 1)(k + 2)^{2}$

первоначально утверждение доказано методом математической индукции.