Question

Одна из сторон параллелограмма равна 15 , а другая 4√13 , а тангенс одного из углов 2/3. Найти площадь параллелограмма.

Answer 1

Дано:

ABCD — параллелограмм.

AB = CD = 4√13;

AD = BC = 15;

tg ∠B = $\displaystyle \frac{2}{3}$.

Найти:

$S_{ABCD}$.

                                               Решение:

• Способ №1:

Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу.

Это значит, что синус угла B относится к косинусу угла B как 2 : 3.

Пусть коэффициент пропорциональности равен x, тогда sin∠B = 2x, cos∠B = 3x.

Согласно основному тригонометрическому тождеству:

sin²∠B + cos²∠B = 1

(2x)² + (3x)² = 1

4x² + 9x² = 1

13x² = 1

x² = $\displaystyle \frac{1}{13}$

x = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{13}}$

$\displaystyle sin \angle B = \displaystyle 2 \cdot\sqrt{\frac{1}{13}} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{\frac{1}{13}} = \sqrt{\frac{4}{13} } = \frac{\sqrt{4} }{\sqrt{13} }= \frac{2}{\sqrt{13} }$.

Найдем площадь параллелограмма, умножив две его стороны на синус угла между ними:

$\displaystyle S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot sin \angle B = 4\sqrt{13}\cdot 15 \cdot \frac{2}{\sqrt{13} } = \frac{4\sqrt{13}\cdot `15 \cdot 2 }{\sqrt{13} } = 4\cdot 15 \cdot 2 = 120$ (кв. единиц).

• Способ №2 (см. рисунок во вложении):

Проведем высоту параллелограмма AK и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник AKB.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего ему катета к прилежащему, поэтому:

$\displaystyle td \angle B = \frac{AK}{BK}= \frac{2}{3}$

Катеты треугольника относятся как 2 : 3.

Пусть коэффициент пропорциональности равен x, тогда AK = 2x, BK = 3x, а по теореме Пифагора:

(2x)² + (3x)² = (4√13)²

4x² + 9x² = 16 · 13

13x² = 208

x² = 208 : 13

x² = 16 ⇒ x = 4.

AK = 2 · 4 = 8.

Найдем площадь параллелограмма, умножив его высоту на ту сторону, на которую она опущена:

$S_{ABCD} = AK \cdot BC = 8 \cdot 15 = 120$ (кв. единиц).

Ответ: 120.