Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$2^{n} > 2n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3$

$n = 3;$

$2^{3} \lor 2 \cdot 3 + 1$

$8 \lor 6 + 1$

$8 > 7 \Longrightarrow 2^{3} > 2 \cdot 3 + 1$

$n = k; \boxed{ 2^{k} > 2k + 1}$ - пусть верно

$2^{k} - 2k - 1 > 0$

$n = k + 1; 2^{k + 1} > 2(k + 1) + 1$

$2^{k} \cdot 2 ^{1} > 2k + 2 + 1$

$2 \cdot 2^{k} > 2k + 3$

------------------------------------------------------

Необходимо доказать:

$2 \cdot 2^{k} > 2k + 3$

$2 \cdot 2^{k} - 2k - 3 > 0$

$2^{k} - 2k - 1 + 2^{k} - 2 > 0$

По индуктивному предположению $2^{k} - 2k - 1 > 0$

То, есть нужно доказать, что $2^{k} - 2 > 0$

$2^{k} > 2^{1} \Longrightarrow k > 1$, а по условию минимальное $k = 3$, то есть утверждение  $2^{k} - 2 > 0$, тоже верно. Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для $k = n + 1$ верно

Так как $\boxed{2 \cdot 2^{k} > 2k + 3}$, то неравенство $\boxed{2^{n} > 2n + 1}$ доказано методом математической индукции.