Question

Решите неравенство:
$2^{x} + 5 * 2^{2-x} \leq 12$

Answer 1

Объяснение:

немного преобразований

$2^{x} +5\frac{4}{2^{x} } \leq 12$

замена

$t=2^{x}$

$t+5\frac{4}{t} \leq 12\\t^{2} +20-12t\leq 0\\t1=10\\t2=2$

на координатной прямой выйдет такое неравенство

$\left \{ {{t\leq 10} \atop {t \geq 2}} \right.$

отсюда

$\left \{ {{x\leq log_{2} 10} \atop {x\geq 1}} \right.$

x∈[1;log2 10]

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle 1\leq x\leq 1+log_{2}5$

Объяснение:

$\displaystyle 2^x+5*2^{2-x}\leq 12$

$\displaystyle 2^x+5*2^{2}:2^x\leq 12$

$\displaystyle 2^x+\frac{5*4}{2^x} \leq 12$

$\displaystyle 2^x+\frac{20}{2^x} \leq 12$

Пусть 2^x = t, t>0, тогда

$\displaystyle t+\frac{20}{t} \leq 12|*t$

$\displaystyle t^2-12t+20\leq 0$

(Т.к. при замене мы поставили условие t>0, то знак не меняется)

Для нахождения корней приравняем наше выражение к нулю  

$\displaystyle t^2-12t+20= 0$

$\displaystyle D = (-12)^2-4*1*20 = 144-80 = 64=8^2$

$\displaystyle t_{1}=\frac{12+8}{2*1}=\frac{20}{2}=10$

$\displaystyle t_{1}=\frac{12-8}{2*1}=\frac{4}{2}=2$

Разместим данные точки на координатной прямой: (см. вложение)

Получается решением неравенства $\displaystyle t^2-12t+20\leq 0$ является t∈[2;10]

Вернемся к замене:

Если 2 ≤ t ≤ 10, то $\displaystyle 2\leq 2^x\leq 10 < = > 2^1\leq 2^x\leq 2^{log_{2}10 }$

Т.к. основание больше единицы, то мы знаки не меняем, т.е.

$\displaystyle 1\leq x\leq log_{2}10$

$\displaystyle 1\leq x\leq log_{2}(2*5)$

$\displaystyle 1\leq x\leq log_{2}2+log_{2}5$

$\displaystyle 1\leq x\leq 1+log_{2}5$