Question

Записать z во всех трёх формах

Answer 1

Ответ:

Показательная:  

$z=2e^{-90^0i}$

Тригонометрическая:

 $\displaystyle z=2cos\left(-\frac{\pi }{2} \right)+2i\;sin\left(-\frac{\pi }{2} \right)$

Алгебраическая:  

$z=-2i$

Пошаговое объяснение:

Требуется записать  комплексное число $z=2e^{-90^0i}$ во всех трех формах.

Существует три формы записи комплексного числа:

1. Алгебраическая

$z=a+bi$

2. Тригонометрическая

$z = r (cos \phi + i sin \phi)$

3. Показательная

$\displaystyle z=re^{i\phi}$

Данное число   $z=2e^{-90^0i}$  записано в показательной форме.

1. Для перевода комплексного числа из показательной формы записи в тригонометрическую воспользуемся формулой Эйлера:

$e^{i\phi}=cos\;\phi+i\;sin\phi$

Получим тригонометрическую форму записи:

$z=2e^{-90^0i}=2(cos(-90^0)+i\;sin(-90^0))$

или

$\displaystyle z=2cos\left(-\frac{\pi }{2} \right)+2i\;sin\left(-\frac{\pi }{2} \right)$

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи.

2. Теперь переведем данное число из тригонометрической формы в алгебраическую.

Для этого подставим значения синуса и косинуса в тригонометрическую форму записи.

$\displaystyle cos(-90^0) = 0\\\\sin(-90^0)=-1$

Получим:

$z=2e^{-90^0i}=2(cos(-90^0)+i\;sin(-90^0))=2(0+i(-1))=-2i$

Получили алгебраическую форму записи комплексного числа:

$z=-2i$