Question

Комбинаторика и бином Ньютона. Решить уравнение: $C^{x-1} _x+C^{x-2} _x+C^{x-3} _x+...+C^{x-8} _x+C^{x-9} _x+C^{x-10} _x=1023.$

Answer 1

Ответ:

х = 10

Объяснение:

1023 представим как 1024 - $C_x^x$. Перекидываем С из х по икс налево с противоположным знаком, получаем:

$C_x^x + C_x^{x-1} + C_x^{x-2}+...+C_x^{x-10} = 1024$
Перепишем левую часть в порядке возрастания k (верхнего числа) для привычности:
$C_x^{x-10} + C_x^{x-9} + ... + C_x^x = 1024$

Мы же можем любое слагаемое в левой части умножить на единицу в любой степени, и получим уравнение, равносильное исходному. Так и поступим:

$C_x^{x-10} * 1^x * 1^{x-10} + C_x^{x-9} * 1^x*1^{x-9} + ... + C_x^x * 1^x * 1^x = 1024$
Встает закономерный вопрос: а зачем мы это сделали? А чтобы заметить, что это - формула бинома Ньютона для случая, когда x=10 ((1+1)^10 = $C_{10}^0 * 1^{10} * 1^0 + C_{10}^1 * 1^{10} * 1^1 + ... + C_{10}^{10}*1^{10}*1^{10}$)
Проверяем, верно ли наше тождество:
(1+1)^10 = 1024
2^10 = 1024
1024=1024 - верно!