Question

Хелпаните решить интеграл

$\int\limits^a_b {\frac{4x^2+3x+7}{(x+2)( x^2-4x+5)} } \, dx$

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|x^2-4x+5|+7*arctg(x-2)+ C$

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits {\frac{4x^2+3x+7}{(x+2)(x^2-4x+5)}} \, dx = \int\limits ({\frac{4x^2+3x+7}{x^3-4x^2+5x+2x^2-8x+10})dx} = \int\limits {(\frac{4x^2+3x+7}{x^3-2x^2-3x+10})}dx$

________________________________________________________

Т.к.высшая степень числителя меньше высшей степени знаменателя, ты мы можем попробовать метод неопределённых коэффициентов

$\displaystyle \frac{4x^2+3x+7}{(x+2)(x^2-4x+5)}} =\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+5}|*(x+2)(x^2-4x+5)$

$\displaystyle 4x^2+3x+7 =(x^2-4x+5)*A+(x+2)*(Bx+C)$

Пусть х = -2, тогда

$\displaystyle 4*(-2)^2+3*(-2)+7 =((-2)^2-4*(-2)+5)*A+(-2+2)*(B*(-2)+C)$

$\displaystyle 4*4-6+7=(4+8+5)*A+0*(-2B+C)$

$\displaystyle 16+1=17*A|:17$

$\displaystyle A=1$

Пусть х = 0, тогда

$\displaystyle 4*0^2+3*0+7 =(0^2-4*0+5)*1+(0+2)*(B*0+C)$

$\displaystyle 7=5+2*C$

$\displaystyle 2C = 7-5|:2$

$\displaystyle C=1$

Пусть х = 1, тогда

$\displaystyle 4*1^2+3*1+7 =(1^2-4*1+5)*1+(1+2)*(B*1+1)$

$\displaystyle 4+3+7 =(1-4+5)+3*(B+1)$

$\displaystyle 14=2+3B+3$

$\displaystyle 3*B = 14-5|:3$

$\displaystyle B=3$

_______________________________________________________

$\displaystyle \int\limits {\frac{4x^2+3x+7}{(x+2)(x^2-4x+5)}} \, dx = \int\limits {(\frac{1}{x+2}+\frac{3x+1}{x^2-4x+5} }) dx= \int\limits {\frac{dx}{x+2}}+\int\limits ({\frac{3x+1}{x^2-4x+5} }) \, dx=$

$\displaystyle = \int\limits {\frac{d(x+2)}{x+2}} \, + \int\limits (\frac{\frac{3}{2}(2x+4) +7}{x^2-4x+5}} )\, dx = ln|x+2|+\frac{3}{2} \int\limits (\frac{2x+4}{x^2-4x+5}} )\, dx +\int\limits (\frac{7}{x^2-4x+5}} )\, dx =ln|x+2|+\frac{3}{2} \int\limits {\frac{du}{u}+7\int\limits \frac{dx}{(x-2)^2+1}} \,=$

_______________________________________________________

Пусть x²-4x+5 = u, тогда du = (2x-4)dx
_______________________________________________________
Пусть x-2 = v, тогда dv = dx
_______________________________________________________

$\displaystyle =ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|u|+7\int\limits {\frac{dv}{v^2+1} } \, = ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|x^2-4x+5|+7*arctg(v) = ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|x^2-4x+5|+7*arctg(x-2)+ C$