Question

Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу 3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n ділиться націло на 10

Answer 1

3ⁿ⁺² -2ⁿ⁺² +3ⁿ-2ⁿ = (3ⁿ⁺²+3ⁿ)-( 2ⁿ⁺²+2ⁿ) = 3ⁿ(3²+1)-2ⁿ(2²+1) = 3ⁿ*10-2ⁿ*5 =

3ⁿ*10 - 2ⁿ*2*5/2 = 3ⁿ*10 - 2ⁿ⁻¹*10 = 10*( 3ⁿ-2ⁿ⁻¹)

т.к. произведение 10*( 3ⁿ-2ⁿ⁻¹) содержит множитель, а именно 10, который делится на 10 нацело, то и  все произведение, а значит, и исходное значение выражения делится нацело на 10. Доказано.