Question

Ребята, выручите пожалуйста.
Исследовать функцию и построить ее график. x^2/(x+2)^2
Нужен развернутый ответ. Буду безмерно благодарен

Answer 1

Ответ:

1. ОДЗ: х ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; +∞)

2. функция не является четной или нечетной.

3. х = 0;   у = 0.

4. x = -2 - вертикальная асимптота;

y = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Функция возрастает на промежутках: (-∞; -2); [0; +∞);

функция убывает на промежутке: (-2; 0].

х min = 0

6. Вогнута: (-∞; -2); (-2; 1];

Выпукла: [1; +∞);

х пер. = 1

Пошаговое объяснение:

Требуется исследовать функцию и построить ее график:

$\displaystyle y=\frac{x^2}{(x+2)^2}$

1. ОДЗ: х ≠ -2;

х ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; +∞)

2. Четность, нечетность.

Если у(-х) = у(х) - функция четная, если у(-х) = -ух) - функция нечетная.

$\displaystyle y(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x+2)^2} =\frac{x^2}{(-x+2)^2}$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

х = 0;   у = 0.

4. Асимптоты.

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2}{(x+2)^2}=\frac{(-2)^2}{(2-2)^2}= \infty$

⇒ x = -2 - вертикальная асимптота.

Наклонная: у = kx + b

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2}{(x+2)^2} -0\cdot{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+4x+4} =\\\\= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2}+\frac{4x}{x^2}+\frac{4}{x^2} } =1$

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x+2)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2+4x+4} =\\\\= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} +\frac{4x}{x^2}+\frac{4}{x^2} } =\frac{0}{1}=0$

⇒ y = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную:

$\displaystyle y'=\frac{2x\cdot(x+2)^2-x^2\cdot2(x+2)}{(x+2)^4} =\\\\=\frac{2x\cdot(x+2)-2x^2}{(x+2)^3} =\frac{4x}{(x+2)^3}$

Приравняем производную к нулю. Найдем корни, отметим их на числовой оси и определим знак производной на промежутках.

Не забываем про критические точки, в которых производная не существует.

х = 0;   х ≠ - 2

+++++ (-2) ----- [0] +++++

⇒ Функция возрастает на промежутках: (-∞; -2); [0; +∞);

функция убывает на промежутке: (-2; 0].

Если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то данная точка будет минимумом.

⇒ х min = 0

y(0) = 0

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем производную второго порядка:

$\displaystyle y''=\frac{4\cdot(x+2)^3-4x\cdot3(x+2)^2}{(x+2)^6} =\\\\=\frac{4(x+2)-12x}{(x+2)^4} =\frac{-8x+8}{(x+2)^4} =\frac{8(1-x)}{(x+2)^4}$

Приравняем производную второго порядка к нулю. Найдем корни, отметим их на числовой оси и определим знак второй производной на промежутках.

Не забываем про критические точки, в которых вторая производная не существует.

х = 1;  х ≠ -2

+++++ (-2) +++++ [1] -----

Если вторая производная положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Если вторая производная в точке меняет знак, то это точка перегиба.

⇒ Вогнута: (-∞; -2); (-2; 1];

Выпукла: [1; +∞);

х пер. = 1

$\displaystyle y(1) = \frac{1}{9}$

Строим график.