Комбинаторика. На книжной полке находятся книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.
Ответы
Ответ:
N = C(5, 10)*C(5, 10) = 63504
Объяснение:
Очевидно, что книг по математике и книг по логике должно быть не меньше 5 каждого вида, иначе нельзя набрать такие комплекты.
Варианты:
1) 5 книг по математике и 15 по логике. Количество наборов:
N = C(5, 5)*C(5, 15) = 1*(15*14*13*12*11)/5! = 13*11*3*5*2*7*4*3/5! =
= 13*11*7*3 = 3003
2) 6 книг по математике и 14 по логике. Количество наборов:
N = C(5, 6)*C(5, 14) = 6*(14*13*12*11*10)/5! = 6*13*11*2*7*4*3*5*2/5! =
= 6*13*11*7*2 = 12012
3) 7 книг по математике и 13 по логике. Количество наборов:
N = C(5, 7)*C(5, 13) = (7*6)/2*(13*12*11*10*9)/5! = 7*3*13*11*3*4*2*5*9/5! =
= 7*13*11*3*9 = 27027
4) 8 книг по математике и 12 по логике. Количество наборов:
N = C(5, 8)*C(5, 12) = (8*7*6)/6*(12*11*10*9*8)/5! = 56*11*3*4*2*5*9*8/5! =
= 56*11*9*8 = 44352
5) 9 книг по математике и 11 по логике. Количество наборов:
N = C(5, 9)*C(5, 11) = (9*8*7*6)/4!*(11*10*9*8*7)/5! = 7*18*11*2*5*3*3*4*2*7/5!
= 7*18*11*42 = 58212
6) 10 книг по математике и 10 по логике. Количество наборов:
N = C(5, 10)*C(5, 10) = (10*9*8*7*6)/5!*(10*9*8*7*6)/5! =
= (2*5*3*3*2*4*42)/5! * (2*5*3*3*2*4*42)/5! = 6*42*6*42 = 63504
Остальные наборы будут симметричны первым пяти.
Максимальное количество вариантов:
N = C(5, 10)*C(5, 10) = 63504