Question

Решить Уравнение

4cos²x = 1 - 4sinx​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x = (-1)^{n+1}*\frac{\pi }{6}+\pi n ;$ n ∈ Z

Пошаговое объяснение:

4cos²(x) = 1-4sin(x)​

Исходя из основного тригонометрического тождества sin²(x)+cos²(x) = 1 выразим cos²(x) : cos²(x) = 1-sin²(x)

4(1-sin²(x)) = 1-4sin(x)​

4-4sin²(x)-1+4sin(x) = 0

-4sin²(x)+4sin(x)+3 = 0

Пусть sin(x) = t, -1 ≤ t ≤ 1, тогда

-4t²+4t+3 = 0|:(-1)

4t²-4t-3 = 0

D = (-4)²-4*4*(-3) = 16+48 = 64 = 8²

t₁₂ = (4±8)/(2*4)

t₁ = 3/2 >1 - не подходит по условию ; t₂ = - 1/2

Вернёмся к замене

Если t = - 1/2, то sin(x) = - 1/2

$\displaystyle x = (-1)^n*arcsin(-\frac{1}{2})+\pi n ;$

$\displaystyle x = (-1)^{n}*(-\frac{\pi }{6})+\pi n ;$

$\displaystyle x = (-1)^{n+1}*\frac{\pi }{6}+\pi n ;$ n ∈ Z