Question

Решите интеграл от dx/√5-x^2+4x и интеграл от x-2/x^2-7x+12 * dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) I=∫dx/(√5-x²+4x)= - ∫dx/(x²-4x-√5)=

D=b²-4ac=16+4√5 = 4(4+√5) = (2√(4+√5) )² ⇒

x₁= 2+√(4+√5)

x₂= 2 -√(4+√5)  

Тогда x²-4x-√5 =(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) ⇒

I = - ∫dx/(x²-4x-√5)= -∫dx/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) )

используя метод неопределённых коэффициентов, разложим нашу дробь 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) на простейшие:

1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = А/(x-2 -√(4+√5) ) - В/(x - 2 +√(4+√5))  

=Ax-2A+A√(4+√5)-BX+2B+B√(4+√5) /(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) )   ⇒ (A-B)x+(2B-2A +A√(4+√5)+B√(4+√5) =1

A-B=0 ⇒A=B , тогда 2A√(4+√5)=1 ⇒ А=В=1 /2√(4+√5)

Значит 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = 1 /2√(4+√5)(x-2 -√(4+√5) ) - 1 /2√(4+√5)(x - 2 +√(4+√5))  

I= -1 /2√(4+√5)· [ ∫dx/(x-2 -√(4+√5) )  -∫dx/(x - 2 +√(4+√5) ) ] =

=-1 /2√(4+√5)· [I₁ -I₂]

I₁= ∫dx/(x-2 -√(4+√5) ) = ln|x-2 -√(4+√5)|

I₂ =∫dx/(x-2 +√(4+√5) ) = ln|x-2 + √(4+√5)|  

I= -1 /2√(4+√5)· [ ln|x-2 -√(4+√5)|  - ln|x-2 + √(4+√5)| ] +C

=   1 /2√(4+√5)· ln |(x-2 + √(4+√5) / |x-2 - √(4+√5)|  +C

2)  ∫(x-2)dx/(x²-7x+12)  

I = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = 0,5·∫(2x-4)dx/(x²-7x+12) = =  0,5·∫(2x-7+3)dx/(x²-7x+12) =

= 0,5·[ ∫(2x-7)dx/(x²-7x+12) + 3∫dx/(x²-7x+12) ]=0,5· [I₁+3I₂]

Вычислим:

I₁ =∫(2x-7)dx/(x²-7x+12)  = |x²-7x+12=t ⇒(2x-7)dx=dt|=

∫dt/t=lnt = ln(x²-7x+12)  

I₂ = ∫dx/(x²-7x+12)  =

x²-7x+12=(x-3)(x-4), так как D=49-48=1 ⇒ х₁=(7+1)/2=4, х₂=(7-1)/2=3 ⇒  

I₂ = ∫dx/(x-3)(x-4)  =  [ ∫dx/(x-4) - ∫dx/(x-3) ]  =ln(x-4) - ln(x-3) ⇒

I=0,5· [I₁+3I₂] =0,5·[ ln(x²-7x+12)  +3ln(x-4) - 3ln(x-3) ] +C