8. Известно, что только один из углов треугольника в два раза меньше внешнего угла, не смежного с ним. Определите вид треугольника.
А) Разносторонний.
Б) Равносторонний.
В) Равнобедренный.
Г) Такой треугольник не существует.
Ответы
Ответ:
г) такой треугольник не существует
Объяснение:
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
Пусть дан треугольник АВС, ∠ВСК=х°, тогда ∠А=0,5х; ∠АСВ=180-х по свойству смежных углов.
Имеем уравнение
х=180-х-0,5х+0,5х; х=180-х; 2х=180; х=90
∠ВСК=90°, значит ∠АСВ=180-90=90°
∠А=0,5х=90:2=45°, тогда и ∠В=45°
Но поскольку в условии сказано, что только один угол в два раза меньше внешнего угла, то можно сказать, что г) такой треугольник не существует.
Ответ:
Треугольник равнобедренный.
Объяснение:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, причем этот внешний угол в два раза больше одного из этих внутренних.
Пусть один из внутренних углов, не смежных с внешним, равен х, а второй равен у. Внешний равен 2х (или 2у), тогда имеем равенство:
2х=х+у(1) или 2у=х+у(2).
В любом случае второй из несмежных углов равен первому:
х = у (1) или у = х (2).
Следовательно, треугольник равнобедренный, с равными углами при основании и внешним углом при вершине.
Проверим: три внутренних угла треугольника: (180-2х)° - при вершине (смежный с внешним) и два равных, не смежных с ним.
В сумме: (180 -2х)° +2·х° = 180°.
Но поскольку в условии сказано, что только один угол в два раза меньше внешнего угла, решение не удовлетворяет условию. Треугольника не существует.
