Question

k - натуральное число. Найти количество натуральных чисел, находящихся между числами $\sqrt{ {k}^{2} + k + 1}$ и $\sqrt{9 {k}^{2} + k + 1 }$. Ответ дать в общем виде.​

Answer 1

Ответ:

Между числами  $\sqrt{k^{2} + k + 1}$ и $\sqrt{9k^{2} + k + 1}$ находится $2k$ целых чисел

Пошаговое объяснение:

$k \in \mathbb N$

Рассмотрим подкоренные выражения $\sqrt{k^{2} + k + 1}$ и $\sqrt{9k^{2} + k + 1}$

Рассмотрим выражение $k^{2} + k + 1$, в данном выражение элемент $k^{2}$ растет быстрее чем $k + 1$, докажем, что прибавки $k + 1$ к $k^{2}$ недостаточно для того, чтобы достичь следующего натурального квадрата, то есть для натуральных $k$ выполняется неравенство:

$k^{2} + k + 1 < (k + 1)^{2}$

$k^{2} + k + 1 < k^{2} + 2k + 1$

$k < 2k|:k$ (можем делить на k, так как по условию $k \in \mathbb N$)

$1 < 2$, таким образом для все натуральных k данное неравенство

То есть при любом $k$ добавки $k + 1$ к $k^{2}$ не даст квадрата числа большего чем k², а так как нас интересуют, только целые числа, то есть целая часть от корня, то $\sqrt{k^{2} + k + 1} = \sqrt{k^{2}} = k$

Так как $9k^{2} > k^{2}$, то для подкоренного выражения $\sqrt{9k^{2} + k + 1}$ выполняется тоже самое, что и для $\sqrt{k^{2} + k + 1}$, таким образом

$\sqrt{9k^{2} + k + 1} = \sqrt{9k^{2}} = 3k$

----------------------------------------------------

Таки образом целых чисел между  $\sqrt{k^{2} + k + 1}$ и $\sqrt{9k^{2} + k + 1}$, есть выражение:

$\sqrt{9k^{2} + k + 1} -\sqrt{k^{2} + k + 1} = 3k - k = 2k = 2k$, так как $k \in \mathbb N$.

Так как число $\sqrt{k^{2} + k + 1}$ чуть больше чем $k$, а $\sqrt{9k^{2} + k + 1}$ чуть больше чем $3k$, то как раз между этими числами находится именно $2k$ целых чисел.

То есть между числами  $\sqrt{k^{2} + k + 1}$ и $\sqrt{9k^{2} + k + 1}$ находится $2k$ целых чисел.