Question

Помогите пожалуйста очень срочно

Answer 1

Ответ:

Доказано: 3 cos²α = 3cos²α.

Объяснение:

Доказать тригонометрическое тождество.

$\displaystyle \frac{cos^{2}(\pi-\alpha)+sin^{2}(\frac{\pi}{2}-\alpha)-cos(\pi-\alpha)cos(2\pi -\alpha)}{ tg^{2}(\frac{\pi}{2}-\alpha)ctg^{2}(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=3cos^{2}\alpha.$

ОДЗ.
Выражение в левой части равенства имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:

$\displaystyle tg^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right) \neq 0; \;\;\alpha\neq \frac{\pi }{2} -\pi n;\;\; n \in Z.\\\\ctg^{2}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)\neq 0; \;\;\; \alpha \neq \pi -\pi n; \;\;\; n \in Z.$

Чтобы доказать тождество, преобразуем выражение в левой части равенства и сравним ее с правой частью равенства.

Для преобразования тригонометрических выражений воспользуемся следующими правилами.
a) Формулы приведения:

$\displaystyle \boxed{cos(\pi-\alpha) = -cos\alpha}\\\\\displaystyle \boxed{sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=cos \alpha}\\\\\displaystyle \boxed{tg (\frac{\pi}{2}-\alpha)= ctg \alpha}\\\\\displaystyle \boxed{ ctg (\frac{3\pi}{2}-\alpha)=tg\alpha}$

b) Тангенс и котангенс одно и того же угла являются взаимнообратными величинами, их произведение равно 1.

$\displaystyle \boxed{tg \alpha=\frac{1}{ctg \alpha}}$

1) Преобразуем тригонометрические функции углов в заданном равенстве.

$\displaystyle cos^{2}(\pi-\alpha) = (-cos\alpha)^{2}=cos^{2} \alpha;\\\\\\\displaystyle sin^{2} \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=cos^{2}\alpha;\\\\\\\displaystyle tg^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=ctg^{2} \alpha;\\\\\\\displaystyle ctg^{2}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=tg^{2} \alpha.$

2) Преобразуем левую часть равенства.

$\displaystyle \frac{cos^{2}(\pi-\alpha)+sin^{2}(\frac{\pi}{2}-\alpha)-cos(\pi-\alpha)cos(2\pi -\alpha)}{ tg^{2}(\frac{\pi}{2}-\alpha)ctg^{2}(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=\\\\\\\displaystyle =\frac{cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+cos\alpha \cdot cos\alpha}{ ctg^{2}\alpha \cdot tg^{2}\alpha}=\\\\\\=\frac{cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha }{(ctg\alpha \cdot tg\alpha)^{2}}=\frac{3cos^{2}\alpha}{1^{2}}=3cos^{2}\alpha.$

Таким образом, левая часть равенства равна правой его части для всех значений α, для которых tgα≠0 и ctgα ≠ 0.

3 cos²α = 3cos²α.

Тождество доказано.