равнобедренный треугольник АВС с боковыми сторонами АВ=АС, разбит на три равнобедренных треугольника так, что АД=ДВ, СЕ=СД, и ВЕ=ЕС. Найдите градусную меру угла ВАС.
Ответы
Ответ: градусная мера угла ВАС составляет 36°.
Пошаговое объяснение:
ДАНО: равнобедренный треугольник АВС
АВ = ВС
АD = DB
CE = CD
BE = EC
НАЙТИ: ∠ВАС - ?
РЕШЕНИЕ:
Пусть ∠ВАС = х.
Рассмотрим треугольник ADB. По условию задачи АD = ВD. Сумма углов в треугольнике равна 180°, а углы при основе равнобедренного треугольника равны. Таким образом,
∠BAD = ∠ABD = x ⇒ ∠ADB = 180 - (x + x) = 180 - 2x
Углы ADB и CDE - смежные. Сумма смежных углов равна 180°.
∠CDE = 180 - ∠ADB = 180 - (180 - 2x) = 180 - 180 + 2х = 2х
Рассмотрим треугольник DCE. Из условия CE = CD, треугольник DCE - равнобедренный. Отсюда,
∠CDE = ∠DEC = 2x
Найдем ∠DCE:
∠DCE = 180 - (2х +2х) = 180 - 4х
Рассмотрим треугольник ВЕС. По условию задачи BE = EC.
Углы DEC и CEВ - смежные. Отсюда,
∠CEВ = 180 - ∠DEC = 180 - 2x
Так как углы EBC и ЕСВ равны, найдем их:
∠EBC = ∠ЕСВ = (180 - ∠CEВ)/2 = (180 - (180 - 2x))/2 = (180 - 180 +2х)/2 = 2х/2 = х
Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), значит:
∠АВС = ∠АСВ.
Угол АВС состоит из двух частей:
∠АВС = ∠АВD + DBC
Угол АСB состоит из двух частей:
∠АСВ = ∠DCE + ∠EСВ
∠АВD + ЕBC = ∠DCE + ∠EСВ
Подставим значения данных углов, найденные ранее:
x + х = 180 - 4х + х
2х = 180 - 3х
2х + 3х = 180
5х = 180
х = 180 : 5
х = 36
Таким образом, ∠ВАС = 36°.
