Question

А)Sin4x= cos (22pi- 2x)

Б) отобрать корни на промежутке [-pi/6; 0]

Answer 1

Ответ:

А) уравнение имеет следующие корни:
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} x_{1}=\frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2} ;\;\;\;\;n \in Z; \\\\ x_{2}= \frac{\pi}{12} + \pi n;\;\; n \in Z; \\\\x_{3} = \frac{5\pi}{12} + \pi n;\;\; n \in Z; \end{array}\right.$

Б) На промежутке x ∈  [-π/6; 0] уравнение корней не имеет.

Объяснение:

А) Решить тригонометрическое уравнение.
Б) Отобрать корни, принадлежащие промежутку [-π/6; 0].

sin4x = cos (22π - 2x).

А) Решить уравнение.

sin4x = cos (22π - 2x).

1) Воспользуемся свойствами функции cosα

- функция cosα периодическая, с периодом T = 2πn.
cosα = cos (α ± 2πn), n ∈ Z;

- функция cosα четная:
cos (-α) = cos α.

Преобразуем выражение стоящее в правой части уравнения.

cos (22π - 2x) = cos (-(2x - 2π · 11) = cos (2x - 2π · 11) =cos 2x.

2) По формуле синуса двойного угла:

sin2α = 2sinα·cosα

sin4x = 2sin2x·cos2x.

3) Тогда уравнение приобретает вид:

2sin2x·cos2x = cos 2x;

перенесем все в левую часть уравнения:

2sin2x·cos2x - cos 2x = 0;

вынесем cos2x за скобки:

cos2x(2sin2x - 1) = 0;

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} cos2x=0\\ 2sin2x-1=0 \\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac{\pi}{2} +\pi n;\;\;n \in Z; \\\\ sin2x=\frac{1}{2} \\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2} ;\;\;\;\;n \in Z; \\\\ 2x=arcsin \frac{1}{2} +2 \pi n;\;\; n \in Z; \\\\2x = \pi - arcsin \frac{1}{2} +2 \pi n;\;\; n \in Z; \end{array}\right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2} ;\;\;\;\;n \in Z; \\\\ 2x= \frac{\pi}{6} +2 \pi n;\;\; n \in Z; \\\\2x = \pi - \frac{\pi}{6} +2 \pi n;\;\; n \in Z; \end{array}\right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} x_{1}=\frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2} ;\;\;\;\;n \in Z; \\\\ x_{2}= \frac{\pi}{12} + \pi n;\;\; n \in Z; \\\\x_{3} = \frac{5\pi}{12} + \pi n;\;\; n \in Z; \end{array}\right.$

Б) Отобрать корни, принадлежащие промежутку x ∈ [-π/6; 0].

1)

$\displaystyle x_{1}=\frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2} ;\;\;\;\;n \in Z; \\\\\\-\frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2}\leq 0\;\;| \cdot \frac{12}{\pi} ;\\\\-2\leq 3+6n\leq 0;\\\\-5\leq 6n\leq -3;\\\\-\frac{5}{6} \leq n \leq -\frac{3}{6} ;\;\; n \in Z$

На полученном промежутке нет целых значений n.

Нет корней, входящих в данный промежуток.

2)

$\displaystyle x_{2}=\frac{\pi}{12} +\pi n ;\;\;\;\;n \in Z; \\\\\\-\frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{12} +\pi n \leq 0\;\;| \cdot \frac{12}{\pi} ;\\\\-2\leq 1+12n\leq 0;\\\\-3\leq 12n\leq -1;\\\\-\frac{3}{12} \leq n \leq -\frac{1}{12} ;\;\; n \in Z$

На полученном промежутке нет целых значений n.

Нет корней, входящих в данный промежуток.

3)

$\displaystyle x_{3}=\frac{5\pi}{12} +\pi n ;\;\;\;\;n \in Z; \\\\\\-\frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{12} +\pi n \leq 0\;\;| \cdot \frac{12}{\pi} ;\\\\-2\leq 5+12n\leq 0;\\\\-7\leq 12n\leq -5;\\\\-\frac{7}{12} \leq n \leq -\frac{5}{12} ;\;\; n \in Z$

На полученном промежутке нет целых значений n.

Нет корней, входящих в данный промежуток.

На промежутке x ∈  [-π/6; 0] уравнение корней не имеет.