Question

прямоугольный треугольник с гипотенузой 50 см и проведённой к ней высотой равной 24 см вращается вокруг гипотенузы
а) выполните рисунок по условию задачи
b) найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении

Answer 1

Ответ:

а) Рисунок прилагается.

б) S = 5275,2 см^2

Объяснение:

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AB = c = 50 см и высотой, проведенной к ней CO = h = 24 см.

Этот треугольник вращается вокруг гипотенузы.

а) Выполнить рисунок по условию задачи.

б) Найти площадь поверхности тела, полученного при вращении.

Решение:

а) Рисунок прилагается.

Это тело, состоящее из двух конусов - AC1C2 и BC1C2.

б) Поверхность тела состоит из двух боковых поверхностей конусов.

Обозначим BO = x см, тогда AO = c - x = 50 - x см, и найдем BC1 и AC1.

Из теоремы Пифагора для треугольников OBC1, OAC1 и ABC1:

{ BC1^2 = BO^2 + OC1^2 = x^2 + h^2 = x^2 + 24^2 = x^2 + 576

{ AC1^2 = AO^2 + OC1^2 = (50-x)^2 + h^2 = x^2 - 100x + 2500 + 576

{ AB^2 = BC1^2 + AC1^2 = x^2 + 576 + x^2 - 100x + 2500 + 576 = 2500

Получаем квадратное уравнение:

2x^2 - 100x + 2*576 = 0

Делим всё уравнение на 2:

x^2 - 50x + 576 = 0

D/4 = 25^2 - 576 = 625 - 576 = 49 = 7^2

x1 = 25 - 7 = 18 см, тогда 50 - x1 = 50 - 18 = 32 см.

x2 = 25 + 7 = 32 см, тогда 50 - x2 = 50 - 32 = 18 см.

Значит, BO = 18 см, AO = 32 см.

Теперь находим BC1 и AC1:

BC1^2 = x^2 + 576 = 18^2 + 576 = 324 + 576 = 900

BC1 = 30 см.

AC1^2 = AB^2 - BC1^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600

AC1 = 40 см.

Итак, мы получили два конуса с одинаковым радиусом h = 24 см и образующими BC1 = 30 см и AC1 = 40 см.

Боковая поверхность конуса - это сектор, у которого радиус равен образующей конуса, а дуга равна длине окружности основания.

У конуса AC1C2 будет R1 = 40 см, у конуса BC1C2 будет R2 = 30 см.

Длина дуги у обоих конусов одинаковая:

L = C = 2π*h = 2*3,14*24 = 48π см.

Найдём величины углов у этих секторов по формуле:

L = π*r*α/180°; α = 180°*L/(π*r) = 180°*48π/(π*r) = 180°*48/r

1) У конуса AC1C2: α1 = 180°*48/R1 = 180°*48/40 = 18*12 = 216°.

2) У конуса BC1C2: α2 = 180°*48/R2 = 180°*48/30 = 18*16 = 288°.

Площади этих секторов найдем по формуле:

Sсек = π*r^2*α/360°

1) У конуса AC1C2: S1 = π*40^2*216°/360° = 1600π*6/10 = 960π см^2.

2) У конуса BC1C2: S2 = π*30^2*288°/360° = 900π*8/10 = 720π см^2.

Общая площадь поверхности тела вращения:

S = S1 + S2 = 960π + 720π = 1680π ≈ 1680*3,14 = 5275,2 см^2