Question

Основания равнобокой трапеции ABCD равны 8см и 20 см, а высота 8 см.
Найдите:
a) диагональ трапеции AC
b) радиус окружности, описанной около трапеции.
Заранее спасибо!​

Answer 1

Ответ:

a) Диагональ АС равна 2√65 см.

б) Радиус описанной окружности около трапеции равен  $\displaystyle \frac{5\sqrt{65} }{4}\;_{(CM)}$.

Объяснение:

Требуется найти:

a) диагональ трапеции AC;

b) радиус окружности, описанной около трапеции.

Дано: ABCD - равнобокая трапеция.

ВС = 8 см; AD = 20 см; СН = 8 см.

Окр.O,R - описанная.

Найти: АС; R.

Решение:

1. Найдем диагональ АС.

• Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции на большее основание, делит его на части, большая из которых равны полусумме оснований.

⇒ АН = (ВС + AD) : 2 = (8 + 20) : 2 = 14 (см)

Рассмотрим ΔАСН - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

АС² = АН² + СН² = 196 + 64 = 260

АС = √260 = 2√65 (см)

Диагональ АС равна 2√65 см.

2. Найдем боковую сторону.

Рассмотрим ΔНСD - прямоугольный.

HD = 20 - 14 = 6 (см)

По теореме Пифагора:

CD² = СH² + HD² = 64 + 36 = 100

CD = √100 = 10 (см)

3. Найдем радиус окружности R по формуле:

• Радиус описанной около трапеции окружности равен радиусу окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции.
• $\displaystyle \boxed { R=\frac{abd}{4S}}$  ,

• где a, b, d - стороны треугольника, S - площадь.

a = AD = 20 см; b = СD = 10 см; d = AC = 2√65 см.

Найдем площадь ΔACD по формуле Герона:

• $\displaystyle \boxed {S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }$ ,
• где a, b, c - стороны треугольника, р - полупериметр.

р = (20 + 10 + 2√65) : 2 = 15 + √65 (см)

$\displaystyle S=\sqrt{(15+\sqrt{ 65})(15+\sqrt{65} -20)(15+\sqrt{65}-2\sqrt{65})(15+\sqrt{65}-10) } =\\\\=\sqrt{(15+\sqrt{65})(\sqrt{65}-5)(15-\sqrt{65})(5+\sqrt{65}) } =\\\\=\sqrt{(225-65)(65-25)}= \sqrt{160\cdot40}=80\;_{(CM^2)}$

Теперь можем найти радиус:

$\displaystyle R=\frac{20\cdot10\cdot2\sqrt{65} }{4\cdot80}=\frac{5\sqrt{65} }{4}\;_{(CM)}$

Радиус описанной окружности около трапеции равен  $\displaystyle \frac{5\sqrt{65} }{4}\;_{(CM)}$.