Question

Найдите радиус окружности, описанной равнобедренного треугольника ABC, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 9/2, а длина медианы, проведённой к основанию, равна 12

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC равен 75/8 ед.

Объяснение:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC.

Дано: ΔАВС - равнобедренный;

r = 9/2 - радиус вписанной окружности;

ВН = 12 - медиана.

Найти: R - радиус описанной окружности около ΔАВС.

Решение:

1. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

ВН - медиана (условие)

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

⇒ ВН - биссектриса, высота.

• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

⇒ О ∈ ВН - центр вписанной окружности.  

• Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикулярах.

⇒ К ∈ ВН - центр описанной окружности.                        

2. Рассмотрим ΔOBE.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒  ΔOBE - прямоугольный.

$\displaystyle OB=BH - OH = 12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

По теореме Пифагора:

$\displaystyle BE^2=BO^2-OE^2=\frac{225}{4}-\frac{81}{4}=\frac{144}{4}\\ \\ BE=\sqrt{\frac{144}{4} } =\frac{12}{2}=6$

3. Рассмотрим ΔОВЕ и ΔНВС - прямоугольные.

∠НВС - общий.

⇒ ΔОВЕ ~ ΔНВС (по двум углам)

Составим отношения сходственных сторон и найдем НС:

$\displaystyle \frac{OE}{HC}=\frac{BE}{BH} \\\\\frac{9}{2\cdot{HC}}=\frac{6}{12}\\ \\ HC=\frac{9\cdot12}{2\cdot6} =9$

4. Рассмотрим ΔНВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем ВС:

ВС² = ВН² + НС² = 144 + 81 = 225

ВС = √225 = 15

МК - серединный перпендикуляр.

⇒   $\displaystyle BM=MC=\frac{15}{2}$

5. Рассмотрим ΔКВМ и ΔНВС - прямоугольные.

∠НВС - общий.

ΔКВМ ~ ΔНВС (по двум углам)

Запишем отношения сходственных сторон и найдем КВ:

$\displaystyle \frac{BM}{BH}=\frac{KB}{BC}\\ \\ \frac{15}{2\cdot12} =\frac{KB}{15}\\ \\KB=\frac{15\cdot15}{24}=\frac{75}{8}$

Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC равен 75/8 ед.