Question

математика, 100 баллов
1)найдите все значения а, при каждом из которых модуль разности корней уравнения х²-6х+12+а²-12а=0 принимает наибольшее значение
2) найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 2^х-а=√(4^х-а) имеет единственный корень (^- это степень ​

Answer 1

x²-6x+a²-4a=0;

a=14; b=-6; c=(a²-4a) ;

D=b²-4ac=36-4*1*(a²-4a)=-4а²+16а+36;

x₁=(6+√(36+16a-4a²)/2=(6+√4*(-а²+4а+9)/2=3+√(-а²+4а+9)

x₂=3-√(-а²+4а+9)

Найдем модуль разности корней :

|x₁-x₂|=|3+√(-а²+4а+9)-(3-√(-а²+4а+9))|=|2√(-а²+4а+9)|

(-а²+4а+9)'=-2a+4

-2a=4=0; a=2 ;

___________2_________________

+                              -

модуль разности принимает наибольшее значение, когда а=2

можно рассуждать и так- под корнем стоит квадратный трехчлен

-(а²-4а-9)=-((а-2)²-13)=-(а-2)²+13- принимает наибольшее значение, когда а-2=0, т.е. когда а=2

2)  2ˣ-а =√(2²ˣ-а)

при 2×≥a; 2²ˣ≥a

возведем обе части в квадрат

2²ˣ+а²-2×⁺¹*а=2²ˣ-а

а²-2×⁺¹*а+а=0

а*(а-2×⁺¹+1)=0

если а=0, то х- любое,

если а ≠0, то -2×⁺¹+1=0, х+1=0, х=-1

т.е. если а≠0, получим единственное уравнение имеет один корень х=1