Question

1. Шар, радиуса 10 см, рассечен на три части двумя параллельными плоскостями а и В.
Расстояние от центра шара до первой плоскости составляет 5 см, а до второй 3 см.
а) Сравните площади боковых поверхностей образованных шаровых сегментов.
b) Найдите площадь полной поверхности образованного плоскостями шарового слоя. ​

2. Треугольник ∆ АВС вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите площадь поверхности образовавшегося тела вращения, если стороны AB=9 см, АС-12 см и ВС-15 см.

Answer 1

Ответ:

1.

$\boxed{S_{\alpha } < S_{\beta }}$

$S_{\alpha } = 50\sqrt{3} \pi$ см²

$S_{\beta } =14\sqrt{91} \pi$ см²

$\boxed{S_{sh} =326\pi}$ см²

2.

$\boxed{S_{V} = 151,2\pi}$ см²

Объяснение:

1.

Дано: O - центр шара; A,C ∈ α; B,F ∈ β; OB = 3 см, OA = 5 см,AB ⊥ α,β,

радиус шара 10 см (R = 10 см)

Найти: $S_{\alpha } \lor S_{\beta }$, $S_{sh} \ - \ ?$

Решение:

По теореме плоскость пересекающая шар в сечении имеет окружность.

Так как треугольник ΔCAO - прямоугольный (по свойствам данной фигуры), то по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{OC^{2} - OA^{2}} = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см.

Аналогично треугольник ΔBOF - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:

$BF = \sqrt{OF^{2} - OB^{2}} = \sqrt{10^{2} - 3^{2}} = \sqrt{100 - 9} = \sqrt{91}$ см.

По основному свойству отрезка:

AT = OT - OA = 10 - 5 = 5 см

BH = OH - OB = 10 - 3 = 7 см

AB = OB + OA = 3 + 5 = 8 см

По формуле площади бокового сегмента:

$S_{\alpha } = 2\pi \cdot AC\cdot AT = 2\pi \cdot 5\sqrt{3 } \cdot 5 = 50\sqrt{3} \pi$ см².

$S_{\beta } = 2\pi \cdot BF \cdot BH = 2\pi \cdot \sqrt{91 } \cdot 7 = 14\sqrt{91} \pi$ см².

$S_{\alpha } \lor S_{\beta }$

$50\sqrt{3} \pi \lor 14\sqrt{91} \pi|:\pi$

$\sqrt{7500} \lor \sqrt{17836}$

$\sqrt{7500} < \sqrt{17836}$

$S_{\alpha } < S_{\beta }$

По определению шаровой слой это часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями.

По определению площади полной поверхности шарового слоя:

$S_{sh} = \pi (BF^{2} + AC^{2} + 2R \cdot AB) = \pi (91 + 75 + 2 \cdot 10 \cdot 8) = 326\pi$ см².

2.

Дано: AB = 9 см, АС = 12 см, ВС = 15 см

Найти: $S_{V} \ - \ ?$

Решение:

По теореме косинусов для треугольника ΔABC:

$BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle CAB$

$\cos \angle CAB = \dfrac{AC^{2} + AB^{2} - BC^{2}}{2 \cdot AC \cdot BC} = \dfrac{12^{2} +9^{2} - 15^{2}}{2 \cdot 12 \cdot 15} = \dfrac{144 +81 - 225}{2 \cdot 12 \cdot 15} =$

$\dfrac{225 - 225}{2 \cdot 12 \cdot 15} = \dfrac{0}{2 \cdot 12 \cdot 15} = 0$.

$\cos \angle CAB = 0 \Longrightarrow \angle CAB = 90^{\circ}$.

Так как угол ∠CAB = 90°, то треугольник ΔABC - прямоугольный.

Проведем высоту к гипотенузе в точку K, то есть AK ⊥ BC.

По формуле площади прямоугольного треугольника (ΔABC):

$S_{зABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{9 \cdot 12}{2} = 9 \cdot 6 = 54$ см².

По формуле площади треугольника (ΔABC):

$S_{зABC} = \dfrac{AK \cdot BC}{2} \Longrightarrow AK = \dfrac{2S_{зABC}}{BC} = \dfrac{2 \cdot 54}{15} = \dfrac{108}{15} = 7,2$ см.

При вращении прямоугольного треугольника около гипотенузы образуются два конуса с общим основанием, то есть с одинаковым радиусом, но разными образующими, тогда полная площадь поверхность фигуры вращения будет сумма поверхностей боковых поверхностей конусов при этом высота прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе и разбивает его на 2 прямоугольных треугольника, которые и будут образовать два конуса, которые составляют единую фигуру вращения, а образующие конусов отрезки AB и AC.

$S_{V} = \pi \cdot AB \cdot AK + \pi \cdot AC \cdot AK = AK\cdot \pi (AB + AC) = 7,2 \pi (9 + 12) =$

$= 7,2\pi \cdot 21 = 151,2\pi$ см².