Question

найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка
$\left \{ {{\frac{dy}{x^{2} } =\frac{dx}{y} } \atop {y(0)=2}} \right.$

Answer 1

$\frac{dy}{x^2}=\frac{dx}{y} \Leftrightarrow ydy=x^2dx \Leftrightarrow \int{y}\, dy=\int{x^2}\, dx \Leftrightarrow \frac{y^2}{2}=\frac{x^3}{3}+C\Leftrightarrow y^2=\frac{2x^3}{3}+C.$

Находим частное решение.

$y(0)=2 \Rightarrow 4=\frac{2\cdot 0}{3} +C \Rightarrow C=4$

Отсюда:

$y^2=\frac{2x^3}{3}+4 \Rightarrow \boxed{y=\pm\sqrt{\frac{2x^3}{3}+4} }$