Question

Найти частную производную
Z = 3+5y^2-8xy^4-7x
По: zx, zy, zxx, zxy, zyy, zyx

Answer 1

Ответ:

Ответы в объяснении.

Пошаговое объяснение:

Дана функция двух переменных:

z(x, y) = 3 + 5y^2 - 8xy^4 - 7x

Найти: dz/dx; dz/dy; d2z/dx^2; d2z/(dxdy); d2z/dy^2; d2z/(dydx)

Решение:

Когда берут производную по одной переменной, другая переменная считается константой. Производная от константы равна 0.

Константа выносится за знак производной.

Находим производные первого порядка.

$\frac{dz}{dx}=0+0-8y^4*1 - 7*1=-8y^4-7$

$\frac{dz}{dy} =0+5*2y-8x*4y^3-0 = 10y - 32xy^3$

Теперь находим производные второго порядка.

$\frac{d^2z}{dx^2}= \frac{d}{dx} (-8y^4-7)=0$

$\frac{d^2z}{dxdy} =\frac{d}{dy} (-8y^4-7)=-8*4y^3=-32y^3$

$\frac{d^2z}{dy^2} =\frac{d}{dy} (10y-32xy^3)=10-32x*3y^2=10-96xy^2$

$\frac{d^2z}{dydx} =\frac{d}{dx} (10y - 32xy^3) = 0-32y^3*1=-32y^3$

Заодно проверили, что $\frac{d^2z}{dxdy} =\frac{d^2z}{dydx}$.

В теории производных есть теорема, что они всегда равны.