Question

40 БАЛЛОВ
Точка движется прямолинейно по закону S (t) = - 2t^5 / 5 +8t3. ( S(t)- в метрах, t - в секундах). В 21³ 5 какой момент времени из отрезка [6;12] скорость движения точки будет наибольшей? Найдите величину этой скорости.​

Answer 1

Ответ:

В момент времени t = 6c из отрезка [6; 12] скорость движения точки будет наибольшей и равна:

V (6) = -1728 (м/с)

Пошаговое объяснение:

Определить, в какой момент времени из отрезка [6; 12] скорость движения будет наибольшей. Найти величину этой скорости.

• Точка движется прямолинейно по закону
• $\displaystyle S(t) = -\frac{2t^5}{5}+8t^3$

• Скорость равна первой производной от пути.
• V (t) = S' (t)

1. Найдем производную:

$\displaystyle \boxed {(x^n)'=nx^{n-1}}$

$\displaystyle V(t) = S'(t) =\left( -\frac{2t^5}{5}+8t^3\right)'=\\\\=-\frac{2}{5}\cdot5t^4+8\cdot3t^2=-2t^4+24t^2$

2. Найдем наибольшее значение скорости из отрезка [6; 12].

Найдем значение скорости на концах отрезка:

V(12) = -2 · 12⁴ + 24 · 12² = 2 · 12² · (-12² + 12) = -288 · 132 = -38016

V(6) = -2 · 6⁴ + 24 · 6² = 2 · 6² · (-6² + 12) = -72 · 24 = -1728

Найдем экстремумы, для этого найдем производную, приравняем ее к нулю и найдем корни.

V'(t) = -2 · 4t³ + 24 ·2t = -8t³ + 48t = 8t (6 - t²) = 8t (√6 - t)(√6 + t).

t = 0; t = √6; t = -√6

Данные точки не входят в данный промежуток.

⇒ В момент времени t = 6c из отрезка [6; 12] скорость движения точки будет наибольшей и равна

V (6) = -1728 (м/с)

*Знак минус указывает, что скорость изменила свое направление.