Question

Дан параллелограмм ABCD, у которого AB=17 см, BD=18 см, AC=20 см. Найдите площадь параллелограмма ​

Answer 1

Ответ: 144 см².

Объяснение:

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно произведение его диагоналей на синус угла между ними разделить пополам.

Какой именно угол значения не имеет, потому что синусы смежных углов одинаковы.  

В нашем случае:

$\displaystyle S_{ABCD} = \frac{BD \cdot AC\cdot sin\angle BOA}{2}$.

Нам известны все компоненты этого выражения, кроме синуса ∠BOA. Поэтому задача состоит в том, чтобы его отыскать.

Параллелограмм имеет такое свойство: его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BO = BD : 2 = 18 : 2 = 9 (см),

AO = AC : 2 = 20 : 2 = 10 (см).

По теореме косинусов, в Δ AOB :

AB² = BO² + AO² - 2 · BO · AO · cos∠BOA

17² = 9² + 10² - 2 · 9 · 10 · cos∠BOA

289 = 81 + 100 - 180 · cos∠BOA

289 = 181 - 180 · cos∠BOA

Выразим отсюда cos∠BOA:

180 · cos∠BOA = 181 - 289

180 · cos∠BOA = -108

cos∠BOA = -108 : 180

cos∠BOA = -0,6.

Раз косинус отрицательный, то этот угол является тупым.

Применим основное тригонометрическое тождество, чтобы найти синус этого угла:

sin²∠BOA + cos²∠BOA = 1

sin²∠BOA = 1 - cos²∠BOA = 1 - (-0,6)² = 1 - 0,36 = 0,64

sin ∠BOA = √0,64 = 0,8. (синус тупого угла всегда положителен, поэтому перед корнем знак плюс).

Теперь можем воспользоваться формулой площади:

$\displaystyle S_{ABCD} = \frac{18 \cdot 20 \cdot 0,8}{2}= \frac{360 \cdot 0,8}{2}= 180 \cdot 0,8 = 144$ (см²).