Question

Через середину катета `AC` (точку `M`) проведена прямая, пересекающая гипотенузу `AB` в точке `D` и продолжение катета `BC` (за точку `C`) в точке `K`. Известно, что около четырехугольника `CMDB` можно описать окружность и `KM=3`, `DM=2`. Найти площадь треугольника `ABC`. Пожалуйста!!!

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника АВС равна 12√2 ед.²

Пошаговое объяснение:

Требуется найти площадь треугольника АВС.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

АМ = МС;

D ∈ АВ; ВС ∩ DM = M;

Окр.О - описана около CMDB.

КМ = 3; DM = 2.

Найти: S (ABCD)

Решение:

• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

∠С = 90° (условие) ⇒ ∠MDB = 180° - 90° = 90°

1. Рассмотрим ΔКМС и ΔАDM - прямоугольные.

Пусть АМ = МС = х.

• Вертикальные углы равны.

⇒∠1 = ∠2 (вертикальные)

ΔКМС ~ ΔАDM (по двум углам)

Составим отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{MC}{DM}=\frac{AM}{MK} \\\\\frac{x}{2}=\frac{3}{x}\\ \\ x^2=6\\\\x=\sqrt{6}$

АМ = МС=√6;   AC = 2√6.

2. Рассмотрим ΔADM - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AD² = AM² - DM² = 6 - 4 = 2

AD = √2

3. Рассмотрим ΔADM и ΔАВС - прямоугольные.

ΔА - общий.

⇒ ΔADM ~ ΔАВС (по двум углам)

Запишем отношение сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{DM}{BC}=\frac{AD}{AC} \\\\\frac{2}{BC}=\frac{\sqrt{2} }{2\sqrt{6} }\\ \\ BC = \frac{2\cdot2\sqrt{6} }{\sqrt{2} } =4\sqrt{3}$

ВС = 4√3

4. Найдем площадь ΔАВС.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

$\displaystyle S (ABC)=\frac{1}{2}AC\cdot{BC}=\frac{2\sqrt{6} \cdot4\sqrt{3} }{2} =12\sqrt{2}$   (ед.²)

Площадь треугольника АВС равна 12√2 ед.²