На окружности взята 2021 синяя и одна красная точка.
1) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых многоугольников со всеми вершинами в синих точках?
2) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых многоугольников, одна вершина которых красная, а остальные синие?
3) Каких многоугольников больше: из 1) или из 2)?
Ответы обоснуйте.
Ответы
1)Некоторая синяя точка может быть выбрана, а может быть не выбрана, поэтому возможны 2 состояния. Но так-же обязательно не стоит забывать, что многоугольник состоит не менее чем из трех точек! Поэтому нужно исключить из общего количество вариантов возможного выбора точек: 2^2021, те варианты, где было выбрано менее трех точек (2,1,0). Найдем количество вариантов, где было выбрано только две точки, число таких вариантов равно: C(2021,2) = 2021*2020/2 = 2021 * 1010
Количество вариантов выбрать только одну точку равно: 2021.
Количество вариантов не выбрать ни одной точки равно 1.
Как видим, в 2021 синей точке можно выбрать: 2^2022 - (2021*1011 +1) различных выпуклых многоугольников.
2. В данном случае красная точка будет в единственном возможном состоянии "я выбрана", а среди синих точек должны быть выбраны хотя бы две точки ( красная точка уже точно выбрана).
Таким образом, в данном случае общее количество выпуклых многоугольников будет равно: 2^2021 - 2022 (исключаем только случаи с невыбранной одной синей точкой (2021) и всеми невыбранными синими точками (1) )
3) Очевидно, что 2^2022 - (2021*1011 +1) < 2^2021 - 2022, то есть многоугольников из первого пункта будет меньше чем многоугольников из второго.
Примечание: отметим, что если многоугольник должен быть выпуклым, то все его стороны проведены между выбранными соседними точками на окружности, а самопересечения сторон исключены. Поэтому по определенному набору точек на окружности можно сформировать единственный выпуклый многоугольник.