Question

Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой.

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{\sqrt{3} }{3} x-2$    уравнение касательной к графику в точке с абсциссой $x{_0}$  

Пошаговое объяснение:

Составим уравнение касательной к графику функции

$y= -\sqrt{\dfrac{1}{3}(6-x^{2} ) }$

в точке с абсциссой $x{_0}=\sqrt{3}$

Уравнение касательной в общем виде:

$y=f(x{_0})+f'(x{_0})\cdot(x-x{_0})$

Запишем заданную функцию в виде

$f(x)= -\sqrt{2-\dfrac{1}{3}x^{2} }$

Найдем значение функции в точке с абсциссой $x{_0}=\sqrt{3}$

$f(x{_0})= -\sqrt{2-\dfrac{1}{3}\cdot (\sqrt{3} )^{2} }=- \sqrt{2-\dfrac{1}{3} \cdot3} =-\sqrt{2-1} =-\sqrt{1} =-1$

Найдем производную данной функции

$f'(x)=\left( -\sqrt{2-\dfrac{1}{3}x^{2} }\right)'= -\dfrac{1}{2\sqrt{2-\dfrac{1}{3}x^{2} }} \cdot \left(2-\dfrac{1}{3} x^{2}\right )'=\\\\= -\dfrac{1}{2\sqrt{2-\dfrac{1}{3}x^{2} }} \cdot \left(-\dfrac{2}{3} x\right)=\dfrac{x}{3\sqrt{2-\dfrac{1}{3}x^{2} }}$

Найдем значение производной в точке с абсциссой $x{_0}=\sqrt{3}$

$f(x{_0})=\dfrac{\sqrt{3} }{3\sqrt{2-\dfrac{1}{3}\cdot(\sqrt{3} )^{2} }} =\dfrac{\sqrt{3} }{3\sqrt{2-\dfrac{1}{3} \cdot3} }=\dfrac{\sqrt{3} }{3\sqrt{2-1} }=\dfrac{\sqrt{3} }{3\sqrt{1} }=\dfrac{\sqrt{3} }{3}$

Подставим найденные значение в общее уравнение касательной.

$y= -1+\dfrac{\sqrt{3} }{3} \cdot( x-\sqrt{3} )= -1+\dfrac{\sqrt{3} }{3} x-\dfrac{\sqrt{3} }{3}\cdot\sqrt{3}= -1+\dfrac{\sqrt{3} }{3} x-1=\dfrac{\sqrt{3} }{3} x-2$

$y=\dfrac{\sqrt{3} }{3} x-2$ -  уравнение касательной к графику в точке с абсциссой $x{_0}.$