Question

Упрости выражение: ctg1° ∙ ctg2° ∙ ctg3° ∙ … ∙ ctg87° ∙ ctg88° ∙ ctg89°.

Answer 1

Будем использовать формулу приведения:

$\mathrm{ctg}(90^\circ-\alpha )=\mathrm{tg}\alpha$

Также понадобится следующее соотношение для тангенса и котангенса:

$\mathrm{tg}\alpha\cdot\mathrm{ctg}\alpha =1,\ \alpha \neq 90^\circ n,\ n\in\mathbb{Z}$

Рассмотрим произведение:

$\mathrm{ctg}1^\circ\cdot\mathrm{ctg}2^\circ\cdot\mathrm{ctg}3^\circ\cdot \ldots\cdot \mathrm{ctg}87^\circ\cdot\mathrm{ctg}88^\circ\cdot\mathrm{ctg}89^\circ$

Преобразуем последние множители начиная с $\mathrm{ctg}89^\circ$ и заканчивая $\mathrm{ctg}46^\circ$ следующим образом:

$\mathrm{ctg}89^\circ=\mathrm{ctg}(90^\circ-1^\circ)=\mathrm{tg}1^\circ$

$\mathrm{ctg}88^\circ=\mathrm{ctg}(90^\circ-2^\circ)=\mathrm{tg}2^\circ$

...

$\mathrm{ctg}46^\circ=\mathrm{ctg}(90^\circ-44^\circ)=\mathrm{tg}44^\circ$

Тогда произведение перепишется в виде:

$\mathrm{ctg}1^\circ\cdot\mathrm{ctg}2^\circ\cdot\ldots\cdot\mathrm{ctg}44^\circ\cdot \mathrm{ctg}45^\circ\cdot\mathrm{tg}44^\circ\cdot\ldots\cdot\mathrm{tg}2^\circ\cdot\mathrm{tg}1^\circ$

Заметим, что в произведении присутствуют пары множителей $\mathrm{tg}k^\circ\cdot\mathrm{ctg}k^\circ$ для всех натуральных чисел k от 1 до 44 включительно:

$\underline{\mathrm{ctg}1^\circ}\cdot\underline{\underline{\mathrm{ctg}2^\circ}}\cdot\ldots\cdot\underline{\underline{\underline{\mathrm{ctg}44^\circ}}}\cdot \mathrm{ctg}45^\circ\cdot\underline{\underline{\underline{\mathrm{tg}44^\circ}}}\cdot\ldots\cdot\underline{\underline{\mathrm{tg}2^\circ}}\cdot\underline{\mathrm{tg}1^\circ}$

Такие пары множителей дают в произведении 1.

Единственный нерассмотренный множитель - это множитель $\mathrm{ctg}45^\circ$, который также равен 1.

Итак, рассматриваемое произведение сводится к произведению единиц:

$1\cdot1\cdot\ldots\cdot1=1$

Ответ: 1