Question

Докажи, что значение выражения не зависит от синуса и косинуса
$\frac{ \sin3x }{ sinx } - \frac{ \cos3x }{ cosx }$
​

Answer 1

Ответ:

• Утверждение, что значение выражения $\displaystyle \frac{\sin3 x }{\sin x } -\frac{\cos 3 x }{\cos x }$ не зависит от синуса и косинуса, доказано при помощи тригонометрических преобразований

Объяснение:

1 способ:

Для доказательства надо знать следующие тригонометрические тождества:

1. $\boxed{\sin3 \alpha =3\sin \alpha -4 \sin ^3 \alpha }$
2. $\boxed{\cos 3 \alpha =4\cos^3 \alpha -3\cos \alpha }$
3. $\boxed{\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1}$

Доказательство:

$\displaystyle \frac{\sin3 x }{\sin x } -\frac{\cos 3 x }{\cos x } =\frac{3\sin x -4 \sin ^3 x }{\sin x } -\frac{4\cos^3x -3\cos x}{\cos x} =\\=3-4\sin^2x -(4\cos^2 x -3)=3- 4\sin^2 x -4\cos^2x +3=\\=3-4(\sin^2x +\cos^2x )+3=3-4\cdot 1+3=\boxed{2}$

В результате не осталось тригонометрических функций, значит, ответ не зависит от синуса и косинуса. Ч.Т.Д.

2 способ:

Для доказательства надо знать следующие тригонометрические тождества:

1. $\boxed{\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \sin \beta }$
2. $\boxed{\sin2 \alpha =2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha }$

Доказательство:

$\displaystyle \frac{\sin3 x }{\sin x } -\frac{\cos 3 x }{\cos x } =\frac{ \sin3x\cdot \cos x-\cos3x \cdot \sin x}{\sin x \cdot \cos x} =\\=\frac{\sin(3x-x)}{\sin x \cdot \cos x} =\frac{\sin 2x}{\sin x \cdot \cos x} =\frac{2\cdot \sin x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \cos x} =\boxed{2}$

В результате не осталось тригонометрических функций, значит, ответ не зависит от синуса и косинуса. Ч.Т.Д.