Question

ПОМАГИТЕ СРОЧНО НАДО СДАТЬ ЗАВТРА!!!!!ДАЮ 25 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

1.

а) $\boxed{\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n^{2} + 2} = 0}$

б) $\boxed{\lim_{n \to \infty} \dfrac{8 - 3n}{n + 4} = -3}$

в) $\boxed{\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + n} - n) = 0,5}$

г) $\boxed{\lim_{n \to \infty} \dfrac{2^{n} + 3^{n}}{3^{n + 1} + 4} = \dfrac{1}{3} }$

2.

а) $\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2} } } = 1}$

б) $\boxed{\lim_{x \to 1} \dfrac{3x^{2} - 5x + 2}{x^{2} - 1} = 0,5}$

в) $\boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \sin 2x}{\sin x } = 3 }$

г)  $\boxed{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x + 2}{\cos (x + 2)} = \infty }$

Примечание:

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{a^{n}} = 0, a > 0$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x }{x}$ - первый замечательный предел

Объяснение:

1.

а)

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n^{2} + 2} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n^{2}} }{\dfrac{n^{2} + 2}{n^{2}} } = \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n^{2}} }{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2} + 2}{n^{2}} } = \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n \cdot n} }{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2}}{n^{2}} + \dfrac{2}{n^{2}} } }=$

$= \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n} }{ \lim_{n \to \infty} 1 + \dfrac{2}{n^{2}} } } = \dfrac{2 \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}}{ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n^{2}} }} = \dfrac{2 \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}}{ \lim_{n \to \infty} 1 + 2\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2}} }} =$

$= \dfrac{2 \cdot 0}{1 + 2 \cdot 0} = \dfrac{0 }{1 + 0} = 0$

б)

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{8 - 3n}{n + 4} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{8 - 3n}{n} }{\dfrac{n + 4}{n} } = \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{8 - 3n}{n} }{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n + 4}{n} } = \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{8 }{n} - \dfrac{3n}{n} }{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n} + \dfrac{4}{n} } =$

$= \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{8 }{n} - 3 }{ \lim_{n \to \infty} 1 + \dfrac{4}{n} } = \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{8 }{n} - \lim_{n \to \infty} 3 }{ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \dfrac{4}{n} } = \dfrac{0 - 3}{1 + 0} = -3$

в)

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + n} - n) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ (\sqrt{n^{2} + n} - n) (\sqrt{n^{2} + n} + n)}{ (\sqrt{n^{2} + n} + n)} =$

$= \lim_{n \to \infty} \dfrac{ n^{2} + n - n^{2} }{ \sqrt{n^{2} + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ n}{ \sqrt{n^{2} + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ \dfrac{n}{n} }{ \dfrac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{n} } =$

$= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 }{ \dfrac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{n} } = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 }{ \dfrac{\sqrt{n^{2} + n}}{n} + \dfrac{n}{n} } = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 }{ \dfrac{\sqrt{n^{2} + n}}{n} +1 } =$

-------------------------------------------------------------------------------------------------

1)$\dfrac{\sqrt{n^{2} + n}}{n} = \dfrac{\sqrt{n^{2} + n}}{\sqrt{n^{2}} } = \sqrt{\dfrac{n^{2} + n}{n^{2}} } = \sqrt{\dfrac{n^{2}}{n^{2}} + \dfrac{n}{n^{2}} } = \sqrt{1 + \dfrac{1}{n} }$

-------------------------------------------------------------------------------------------------

$= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{n} } +1 } = \dfrac{ \lim_{n \to \infty} 1 }{ \lim_{n \to \infty} \sqrt{ 1 + \dfrac{1}{n} } + \lim_{n \to \infty} 1 } = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} = 0,5$

г)

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{2^{n} + 3^{n}}{3^{n + 1} + 4} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(2^{n} + 3^{n})'}{(3^{n + 1} + 4)'} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n \cdot2^{n - 1} + n \cdot 3^{n - 1}}{3n \cdot 3^{n - 1} } =$

$= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(2^{n - 1} + 3^{n - 1})}{3n \cdot 3^{n - 1} } = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2^{n - 1} + 3^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1} } = \dfrac{1}{3}\lim_{n \to \infty} \dfrac{2^{n - 1} + 3^{n - 1}}{ 3^{n - 1} }=$

$= \dfrac{1}{3}\lim_{n \to \infty} \dfrac{2^{n - 1} }{ 3^{n - 1} } + \dfrac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \dfrac{1}{3}\bigg(\lim_{n \to \infty} \bigg( \dfrac{2 }{ 3 } \bigg)^{n - 1} + 1 \bigg)=\dfrac{1}{3} \bigg(0 + 1 \bigg) = \dfrac{1}{3}$

1) $\lim_{n \to \infty} \bigg( \dfrac{2 }{ 3 } \bigg)^{n - 1} = \lim_{n \to \infty} \bigg( \dfrac{2 } { 3 } \bigg)^{n} = \dfrac{3}{2}\lim_{n \to \infty} \bigg( \dfrac{2 } { 3 } \bigg)^{n} = \dfrac{3}{2} \cdot 0 = 0$

$0 < \dfrac{2}{3} < 1$, а показательная функция $y = a^{x}$ при $0 < a < 1$ и $x \rightarrow \infty$ стремится к нулю.

2.

а)

$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2} } } = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 0^{2}} } = \dfrac{1}{\sqrt{1} } = \dfrac{1}{1} = 1$

Пункты номера 2 б), в) и г) смотрите на фотографии!