Question

Найти точку минимума функции y = x^x

Answer 1

Ответ: 1/е

Пошаговое объяснение:

ОДЗ х∈(0;+∞);

прологарифмируем обе части, они положительны, ㏑у=㏑(x^x);

㏑у=х㏑(x);

возьмем производную от обеих частей.

у'/y=㏑x+x/x

y'=(㏑x+1)*y;

y'=(㏑x+1)*(x^x); x^x≠0;

y'=0, если ㏑x+1=0, ㏑x=-1⇒х=е⁻¹; х=1/е

установим знаки, при переходе через критическую точку 1/е;

___0_____1/е_______________________

           -                                     +

поэтому х=1/е- точка минимума.

         

Answer 2

Ответ:   $x=\dfrac{1}{e}$  .

$y=x^{x}\ \ \Rightarrow \ \ \ y=\Big(e^{lnx}\Big)^{x}\ \ ,\ \ y=e^{x\cdot lnx}\ \ ,\ \ x > 0\ ;\\\\{}\ \ \ (a^{u})'=a^{u}\cdot lna\cdot u'\\\\y'=e^{x\cdot lnx}\cdot (x\cdot lnx)'=e^{x\cdot lnx}\cdot (x'\cdot lnx+x\cdot (lnx)')=e^{x\cdot lnx}\cdot (lnx+x\cdot \dfrac{1}{x})=\\\\=e^{x\cdot lnx}\cdot (lnx+1)$

Найдём стационарные (критические) точки.

$y'=0\ \ \to \ \ \ \underbrace{e^{x\cdot lnx}}_{ > 0}\cdot (lnx+1)=0\ \ \to \ \ lnx=-1\ \ ,\ \ x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$  

Знаки  y':

 $(0)---(\frac{1}{e})+++++\\{}\qquad \ \searrow \ \ \, (\frac{1}{e})\ \ \nearrow$

Так как производная меняет знак c минуса на плюс, то имеем точку минимума   $x=\dfrac{1}{e}$  .