Question

Помогите, не могу понять закономерность определения знака

Найти область определения функции (все выражение под знаком корня):
⁶√x² - 7x + 10
Почему ответ x <= 2, x >= 5? Я понимаю что 2 и 5 корни этого квадратного уравнения, но как определить, когда какой знак ставить?

Answer 1

1)Корень чётной степени определяется только когда подкоренное выражение неотрицательно, потому что не бывает, как в примере, числа, которое бы в 6 степени равнялось отрицательному подкоренному выражению(по аналогии с квадратным корнем). Значит подкоренное выражение должно быть больше или равно нуля

2) Квадратный трёхчлен разбивается на произведение (x-2)(x-5), к этому можно придти, решив уравнение квадратное и найти корни, но я просто сгруппировал

3)По методу интервалов я рассматриваю числовую прямую, которая разбивается двумя корнями на три промежутка. В сущности мы на каждом промежутке проверяем является ли произведение (x-2)(x-5) неотрицательным, а это достигается только при умножение двух отрицательных чисел, либо двух положительных, соответственно промежутки 1) и 3) являются решением, и их надо объединить. Я для наглядности даже рассмотрел каждый случай, выбрав случайное число, чтобы проверить знак произведения.

Answer 2

Подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательным , то есть ≥ 0 .

$\displaystyle\bf\\\sqrt[6]{x^{2} -7x+10} \\\\x^{2} -7x+10\geq 0\\\\Teorema \ Vieta \ :\\\\x_{1}=2 \ \ ; \ \ x_{2} =5\\\\(x-2)(x-5)\geq 0$

+ + + + + [2] - - - - - [5] + + + + +

/////////////////            ///////////////

$\displaystyle\bf\\Otvet: \ x\in\Big(-\infty \ ; \ 2\Big] \ \cup \ \Big[5 \ ; \ +\infty \Big)$