Имеются две урны: в первой три белых шара идва черных шара, во второй четыре белых и четыре черных шара.Из первой урны во вторую перекладывают не глядя,два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того,что этот шар будет белым?
Ответы
Решим по формуле полной вероятности
пусть событие А-из второй урны вынут белый шар. результат выбора зависит от цвета шаров, которые перекладывали из первой урны.
Может возникнуть три гипотезы: Н₁-из 1 -й урны переложили 2 белых шара, Н₂-из 1 -й урны переложили 2 черных шара, Н₃-из 1 -й урны переложили 1 белый и 1 черный шар.
Все эти события несовместны, хоть одна из них. да произойдет, они образуют полную группу событий.
Р(Н₁)= отношению числа сочетаний из трех белых по два белых к числу сочетаний из пяти - всех находящихся в первой урне по два. т.е.
(3!/(2!*1!))/(5!/(2!*3!))=(3!*2*3!)/(2!*5!)=2*3/(4*5)=3/10;
аналогично найдем Р(Н₂)= отношению числа сочетаний из двух черных по два черных (равно 1) к числу сочетаний из пяти - всех находящихся в первой урне по два. т.е. 1/(5!/(2!*3!)=2!*3!/5!=2/(4*5)=1/10;
аналогично найдем Р(Н₃)= отношению произведения числа сочетаний из трех белых по одному, это три, на из двух черных по одному (равно 2) , а всего их 3*2=6, к числу сочетаний из пяти - всех находящихся в первой урне по два. т.е. 2*3/(5!/(2!*3!)=2*3*2!*3!/5!=2/(4*5)=6/10;
Контроль Р(Н₁)+Р(Н₂)+Р(Н₃)=(3/10)+(1/10)+(6/10)=1
Найдем теперь условные вероятности
P(A|H₁)=6/10; P(A|H₂)=4/10;P(A|H₃)=5/10; - соответственно вероятности того, что вынули белый шар, если переложили соответственно во вторую урну 2 белых, 2 черных ; один белый, один черный. во второй урне всего стало 10 шаров. поэтому эти вероятности легко находятся. и наконец, применим формулу полной вероятности, получим:
P(A)=P(H₁)P(A|H₁)+P(H₂)P(A|H₂)+P(H₃)P(A|H₃)=(3/10)*(6/10)+(1/10)*(4/10)+(6/10)*(5/10)=(18+4+30)/100=0.52=52%
Ответ 0.52