Question

Демо задание 1-2
Номер 2

Answer 1

Ответ:

$O(0;0;0)\ ,\ A(-2,0,1)\ ,\ B(1,-2,0)\ ,\ C(0;1;2)$

1) Уравнение плоскости ABC, проходящей через три точки имеет вид:

   $\left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{array}\right|=0$  

Пусть первая точка - точка А, вторая - В , третья - С .

$\left|\begin{array}{ccc}x+2&y&z-1\\1+2&-2&0-1\\0+2&1&2-1\end{array}\right|=0\ \ \ ,\ \ \ \left|\begin{array}{ccc}x+2&y&z-1\\3&-2&-1\\2&1&1\end{array}\right|=0\ \ \ ,\\\\\\-(x+2)-5y+7(z-1)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -x-5y+7z-9=0\ \ ,\ \ x+5y-7z+9=0$

Уравнение пл. АВС :  $\boxed{\ x+5y-7z+9=0\ }$  .

Для удобства построения плоскости запишем это уравнение как уравнение плоскости в отрезках    $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$  , где  a , b , c - отрезки, отсекаемые плоскостью на соответствующих осях координат . Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях OХ, OУ и OZ соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях.

$x+5y-7z+9=0\ \ \Rightarrow \ \ \ x+5y-7z=-9\ \ ,\ \ \ \dfrac{x}{-9}+\dfrac{y}{-5/9}+\dfrac{z}{7/9} =1$

На осях ОХ , ОУ , OZ плоскость отсекает отрезки , равные  (-9) , (-5/9) , 7/9  . Схематически плоскость построена на рисунке .

2) Уравнение прямой АВ .

Найдём координаты направляющего вектора AB :  

$\overline {AB}=(1+2;-2-0;0-1)=(3;-2;-1)$

Канонические уравнения прямой АВ :  $\boxed{\ \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}\ }$  .

Запишем уравнение прямой АВ в параметрическом виде : $\boxed{\ \left\{\begin{array}{l}x=3t-2\\y=-2t\\z=-t+1\end{array}\right\ }$  

Запишем уравнение прямой АВ как пересечение двух плоскостей:

$\left\{\begin{array}{l}-2(x+2)=3y\\-y=-2(z-1)\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}-2x-4=3y\\-y=-2z+2\end{array}\right\ \ \boxed{\ \left\{\begin{array}{l}2x-3y+4=0\\y-2z+2=0\end{array}\right\ }$   .

3)  Длина высоты h , проведённой из вершины О на пл. АВС .

Найдём сначала площадь плоскости АВС :  $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot \Big|\, [AB\times CB]\, \Big|$  .

$[AB\times CB]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&-2&-1\\1&-3&-2\end{array}\right|=\vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k}\\\\\\\Big|\, [AB\times CB]\, \Big|=\sqrt{1^2+5^2+(-7)^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3\\\\S_{ABC}=\dfrac{5\sqrt3}{2}$

Найдём объём тетраэдра по формуле:  $V_{ABCO}=\dfrac{1}{6}\cdot \Big|\, (OA,OB,OC)\, \Big|$  .

$(OA,OB,OC)=\left|\begin{array}{ccc}-2&0&1\\1&-2&0\\0&1&2\end{array}\right|=-2\cdot (-4)+1\cdot 1=8+1=9\\\\\\V_{ABCO}=\dfrac{1}{6}\cdot |\, 9\, |=\dfrac{3}{2}$

Так как объём пирамиды равен   $V=\dfrac{1}{3}\, S_{osnov}\cdot h$  ,  то   $h=\dfrac{3V}{S_{osnov}}$   .

$h=\dfrac{3\cdot \frac{3}{2}}{\frac{5\sqrt3}{2}}=\dfrac{\frac{9}{2}}{\frac{5\sqrt3}{2}}=\dfrac{9}{5\sqrt3}=\boxed{\ \dfrac{3\sqrt3}{5}\ }$