Question

Демо задание 1-2
Номер 4

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2(3x+4)}{(x-1)^3}\ \ ,\qquad \qquad \Big(\frac{u}{v}\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\\\\\f'(x)=\frac{(3x^3+4x^2)'(x-1)^3-(3x^3+4x^2)((x-1)^3)'}{(x-1)^6}=\\\\=\frac{(9x^2+8x)(x-1)^3-3\, (x-1)^2(3x^3+4x^2)}{(x-1)^6}=\\\\\\=\frac{(9x^2+8x)(x-1)-3(3x^3+4x^2)}{(x-1)^4}=\frac{-13x^2-8x}{(x-1)^4}=\frac{-x\, (13x+8)}{(x-1)^4}$

b)  Вертикальная асимптота х=а, если  $\lim\limits _{x \to a\pm 0}\, f(x)=\infty$  .

Проверим точку а=1 , так как при х=1 функция не существует, знаменатель дроби обращается в ноль .

$\lim\limits _{x \to 1\pm 0}\, f(x)=\lim\limits _{x \to 1\pm 0}\, \dfrac{3x^3+4x^2}{(x-1)^3}=\Big[\ \dfrac{3+4}{(1\pm 0-1)^3}=\dfrac{7}{\pm 0}\ \Big]=\pm \infty$

Вертикальная асимптота  х= 1  .

c)  Наклонная асимптота  y=kx+b .

$k=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{3x^3+4x^2}{x\, (x-1)^3}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{3x^3}{x^4}=0\\\\\\b=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, (f(x)-kx)=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \Big(\dfrac{3x^3+4x^2}{(x-1)^3}-0\cdot x\Big)=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\, \dfrac{3x^3+4x^2}{(x-1)^3}=3$

Уравнение наклонной асимптоты превращается в уравнение горизонтальной асимптоты   $y=3$  .