Question

Демо задание 1-4
Номер 6

Answer 1

Ответ:

$z=x^2+y^2-xy-x-y\ \ ,\ \ \ D:\{x\geq 0\ ,\ y\geq 0\ ,\ x+y\leq 3\ \}\\\\z'_{x}=2x-y-1=0\ \ ,\ \ \ z'_{y}=2y-x-1=0\\\\\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\-x+2y=1\ |\cdot 2\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\3y=3\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}2x=2\\y=1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array}\right\ \ \ M_0(1;1)$

Стационарная точка - $M_0(1;1)\in D$  .  

$z(M_0)=z(1;1)=1^2+1^2-1\cdot 1-1-1=\boxed{-1}$

2)  Исследуем границу области.

a)  Рассмотрим сторону треугольника, находящуюся на оси ОХ.

${}\qquad \qquad y=0\ \ ,\ \ 0\leq x\leq 3\ \ \Rightarrow \\\\z=x^2-x\ ,\ \ z'=2x-1=0\ \ ,\ \ x=0,5\in [\, 0\, ;\, 3\, ]\\\\M_1(\, 0,5\, ;\, 0\, )\ \ ,\ \ \ z(M_1)=0,5^2-0,5=\boxed{-0,25}\\\\z(M_2)=z(0;0)=\boxed{0}\\\\z(M_3)=z(3;0)=3^2-3=\boxed{6}$      

b)   Рассмотрим сторону треугольника, находящуюся на оси ОУ.

${}\qquad \qquad x=0\ \ ,\ \ 0\leq y\leq 3\ \ \ \Rightarrow \\\\z(y)=y^2-y\ \ ,\ \ \ z'=2y-1=0\ ,\ \ y=0,5\in [\, 0\, ;\, 3\, ]\\\\M_4(0,5\, ;0\, )\ \ ,\ \ z(M_4)=0,5^2-0,5=\boxed{-0,25}\\\\M_2(0;0)=\boxed{0}\\\\M_5(\, 0\, ;\, 3\, )=3^2-3=\boxed{6}$

с)  Рассмотрим сторону треугольника, находящуюся на прямой

          $x+y=3\ \ ,\ \ 0\leq y\leq 3\ \ ,\ \ 0\leq x\leq 3$

$y=3-x\ \ \to \ \ z=x^2+(3-x)^2-x(3-x)-x-(3-x)=\\\\=x^2+9-6x+x^2-3x+x^2-x-3+x=3x^2-9x+6\ \ ,\ 0\leq x\leq 3\ .\\\\z'=6x-9=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{3}{2}=1,5\ \ ,\ \ \ y=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}=1,5\ \ ,\ \ \ M_6\Big(\dfrac{3}{2}\, ;\, \dfrac{3}{2}\, \Big)\\\\z(M_6)=3\cdot \dfrac{9}{4}-9\cdot \dfrac{3}{2}+6=-\dfrac{3}{4}=\boxed{-0,75}$

Значения функции на концах отрезка , в точках М₃  и  М₅  уже были вычислены.

Выберем теперь наибольшее и наименьшее значения функции из тех семи значений, которые обведены прямоугольниками .

Наименьшее значение функции в области D:   $min\, z\Big|_{D}=z(1;1)=-1$  .

Наибольшее значение функции в области D:  $max\, z\Big|_{D}=z(3;0)=z(0;3)=6$  .