Question

Задание 1
Решите задачи, составив уравнения. а) Разница между двумя числами равна 34, а разница между квадратами равна 408. Найдите эти два числа.
Задание 2
а) Докажите, что сумма двух последовательных натуральных чисел есть разность их квадратов

Answer 1

Ответ:

а)

$\left \{ {{x - y = 34} \atop { {x}^{2} - {y}^{2} = 408}} \right . \: = > \left \{ {{x = 34 + y} \atop { {x}^{2} - {y}^{2} = 408 }} \right .$

${(34 + y)}^{2} - {y}^{2} = 408 \\ 1156 + 68y + {y}^{2} - {y}^{2} = 408 \\ 68y = 408 - 1156 \\ 68y = - 748 \\ y = - 11$

$x = 34 + y \\ x = 34 + ( - 11) \\ x = 23$

x=23, y=-11

Задание 2.

Возьмем одно натуральное число, например 4 и последующее ему число 5.

4+5=9 (сумма равна 9)

5²-4²=25-16=9 (разность квадратов тоже 9)

А теперь формула:

Возьмем любое натуральное число n, следующее число будет n+1

$n + (n + 1) = 2n + 1$

Сумма равна 2n+1

${(n + 1)}^{2} - {n}^{2} = {n}^{2} + 2n + 1 - {n}^{2} = 2n + 1$

Теперь разность квадратов тоже 2n+1.

Значит, 2n+1=2n+1, отсюда следует

$n + (n + 1) = {(n + 1)}^{2} - {n}^{2}$