Question

Определи количество членов конечной геометрической прогрессии (Bn),
если q=6, последний член bn= 2592, Sn=3108.
Найти n

Answer 1

Ответ:

n= 4 - количество членов геометрической прогрессии.

Пошаговое объяснение:

Дана геометрическая прогрессия.

Знаменатель геометрической прогрессии $q= 6.$

последний член равен $b{_n}= 2592$

и сумма $S{_n}= 3108$

Воспользуемся формулой суммы n - первых членов геометрической прогрессии

$S{_n}= \dfrac{b{_n}q-b{_1}}{q-1}$

Подставим заданные значения в данную формулу и найдем первый член геометрической прогрессии

$\dfrac{2592\cdot6-b{_1}}{6-1}=3108;\\\\ \dfrac{2592\cdot6-b{_1}}{5}=3108;\\\\2592\cdot6 -b{_1}=3108\cdot5;\\\\15552-b{_1}= 15540;\\\\b{_1}= 15552-15540;\\\\b{_1}= 12$

$\displaystyle \begin{array}{r}\underline{\times\begin{array}{r}2592 \\ 6\end{array}} \\ 15552 \hspace{6pt} \end{array}$      $\displaystyle \begin{array}{r}\underline{\times\begin{array}{r}3108 \\ 5\end{array}} \\ 15540 \hspace{6pt} \end{array}$      $\begin{array}{r} \underline {- \begin{array}{r} 15552 \\ 15540 \end{array} } \\ \begin{array}{r} 12 \end{array} \end{array}$

Воспользуемся формулой n- го члена геометрической прогрессии

$b{_n}= b{_1}\cdot q^{n-1} ;\\\\12\cdot6^{n-1} =2592;\\\\6^{n-1}=2592:12;\\\\6^{n-1}=216;\\\\6^{n-1}=6^{3} ;\\\\n-1=3;\\\\n=3+1;\\\\n=4$

Значит, 4 члена геометрической прогрессии

Answer 2

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 q^{n-1}$, где q — знаменатель прогрессии.

Выразим отсюда первый член (чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный):

$\displaystyle b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}} = \frac{2592}{6^{n-1}}$.

Формула суммы n членов конечной геометрической прогрессии:

$\displaystyle S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = b_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1} .$

Подставим в эту формулу вместо $b_1$ выражение, полученное выше, а также числа из условия задачи. Получаем уравнение:

$\displaystyle 3108 = \frac{2592}{6^{n-1}} \cdot \frac{(6^n-1)}{6-1} ;$

$\displaystyle \frac{3108 }{1} = \frac{2592\cdot (6^n - 1)}{5\cdot 6^{n-1} }$;

По свойству пропорции, произведение ее крайних членов равно произведению средних, поэтому выполним перекрестное умножение:

$3108 \cdot 5 \cdot 6^{n-1} = 2592 \cdot (6^n -1)$;

$15540 \cdot 6^{n-1} = 2592 \cdot 6^n - 2592$;

Распишем $6^{n-1}$, пользуясь свойством степени $\displaystyle a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}$:

$\displaystyle 15540 \cdot \frac{6^n}{6} = 2592 \cdot 6^n - 2592$;

$\displaystyle \frac{15540\cdot6^n}{6} = 2592 \cdot 6^n - 2592$;

Сократим дробь в левой части уравнения на 6:

$\displaystyle 2590 \cdot6^n= 2592 \cdot 6^n - 2592$;

$\displaystyle 2590 \cdot6^n - 2592 \cdot 6^n= - 2592$;

Вынесем общий множитель за скобки в левой части:

$6^n(2590 - 2592) = -2592$;

$-2 \cdot 6^n = -2592$;

Разделим обе части уравнения на -2:

$6^n = 1296$.

n равняется степени, в которую нужно возвести 6, чтобы получилось 1296.

n = 4.

Значит, в данной геометрической прогрессии 4 члена.

Ответ: 4.