Question

помогите пожалуйста
пж пж пж

Через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи натурального числа n. Например, S(12345)=15. Найди сумму всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n⋅S(n)=630

Answer 1

Ответ:

315

Пошаговое объяснение:

Примем, что мы по умолчанию используем форму десятичной записи чисел (т.е. стандартная форма записи, в которой число представлено набором из десяти цифр: от 0 до 10, причем у натурального числа первый знак - всегда отличен от 0

Отметим, что если:

n - некоторое натуральное число;

S(n) - сумма цифр в этом числе n,

то => S(n) - тоже будет являться натуральным.

Попробуем понять, что конкретно представляют собой эти n и S(n)

${n}{\,\cdot\,}{S(n) \, }=630; \;\:\, n\in \text{N} , \: S(n) \in\text{N}$

Очевидно, что n и S(n) - оба делители числа 630,

и, т.к. каждое тз чисел n; S(n); 630 раскладывается на множество простых множителей (1 не считаем) единственным способом (основная Теорема арифметики), а пара чисел n; S(n) является также разложением 630 на множители (но не конечное) =>

=> следующие два множества:

а) множество простых делителей числа 630

и

б) совокупное множество делителей n и S(n)

- равны, т.е. содержат один и тот же набор элементов.

$n\cdot{S(n)}= 630; =>\;S(n) = \frac{630}{n} ; \: \: \\ \: {S(n)}\in {N};{n} \in {N}$

Разобьем 630 на множители. Получим:

$630 = 63 \cdot 10 = 9\cdot7\cdot5\cdot2= \\ = 3\cdot3\cdot7\cdot5\cdot2 = 2\cdot {3}^{2} \cdot5\cdot7$

Кстати, есть такое правило:

если число делится на 3 или на 9 => сумма его цифр тоже делится на 3 или на 9, и наоборот.

630 делится на 9 => в его составе есть 2 простых множителя 3 => есть они и в n или S(n)

Т.к. S(n) - сумма цифр числа n, => по признаку делимости на 3 этот множитель должен быть и у n, и у S(n)

n = 3 • ...; S(n) = 3 • ...

а следовательно, n, S(n) содержат по одной тройке каждое и поэтому не делятся на 9:)

S(n) ≠ 9; S(n) ≠ 18

Рассмотрим варианты группировки простых множителей, с учетом отмеченного факта (их немного), а также следующего:

Число n однозначным быть не может, т.к. тогда

Sn = n => max (Sn•n) = 9² =81

Так же очевидно, что с учетом предыдущего факта,

n > S(n)

т.к число (не однозначное) всегда больше суммы своих цифр

Возможны ли трехзначные значения n?

Да. С учётом, что

S(n) = 3 • ...,

n = 630 / S(n)

число n может быть трехзначным если:

S(n)= 3 или S(n) = 6

при S(n)= 3:

$n{ = }\frac{630}{3} =210; \: \: S{(n)} {= }2{ +} 1{ +} 0{ = }3;\: \: \\ n \cdot {S(n)} = 210\cdot 3 = 630$

при S(n) = 6:

$n = \frac{630}{6}=105; \: \: S{(n)} {= }1{ +} 0{ + }5= 6;\: \: \\ n \cdot {S(n)} = 105\cdot 6 = 630$

А значит, нам "подходят" эти две пары:

n = 210, S(n) = 3;

n = 105, S(n) = 6

Остались только варианты двузначных n

Двузначное число можно обозначить так:

n = 10a + b

где а - цифра десятков; b - цифра единиц.

$n = 10a{+}b \;\, = > \: \: S(n) = a + b;\; \\ a, b \in \{1; 2; ... \: 8; 9 \} \: \: = > \: S(n) \leqslant 18; \: \\ \small{ m.k. }\: \: S(n) = 3 \cdot... \: ; \: S(n) \neq9; \: S(n) \neq18\\ S(n) \in \{3; 6;12;15 \}$

Варианты $S(n) \in \{3; 6\}$ рассмотрены

Варианты $S(n) \in \{12;15 \}$ рассмотрим сейчас:

S(n) = 12:

$630 = 2\cdot {3}^{2} \cdot5\cdot7 \\ S(n) \neq \: 12 \: \: \: m.k. \: \: \: \frac{630}{12} \: \cancel{\in} \: {N}$

S(n) = 15

$\small \: n= \dfrac{630}{15 }=42$

Рднако возникает противоречие:

если n = 42 => S(n) = 4 + 2 = 6

т.е при n = 42 S(n) ≠ 12

Тоже не подходит.

Значит, существует две таких пары чисел:

n = 210; S(n) = 3

n = 105; S(n) = 6

И сумма всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n⋅S(n)=648 равна

210 + 105 = 315

Ответ: 315

- это и есть ответ