Question

Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Найти вероятность того, что деталь извлечены из 2-й партии

Answer 1

Событие B состоит в том, что детали извлечены из 2-й партии

Рассмотрим гипотезы A₁, A₂, A₃, которые состоят из следующих событий

A₁ — детали извлекались из первой партии;

A₂ — детали извлекались из второй партии;

A₃ — детали извлекались из третьей партии.

Вероятность достать детали в каждой партии из трех равна 1/3, т.е.

                            $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=dfrac{1}{3}$

Условная вероятность $P_{A_1}(B)$ равна 1, так как это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны.

Условная вероятность $P_{A_2}(B)$, равна 15/20 = 3/4 — вероятность того, что из второй партии извлечена стандартная деталь.

Условная вероятность $P_{A_3}(B)$, равна 10/20 = 1/2 — вероятность того, что из третьей партии извлечена стандартная деталь.

Вероятность того, что деталь извлечена из второй партии, (по формуле Байеса), равна:

$P=dfrac{P(A_2)cdot P_{A_2}(B)}{P(A_1)cdot P_{A_1}(B)+P(A_2)cdot P_{A_2}(B)+P(A_3)cdot P_{A_3}(B)}=\ \~~~~~~~~~~~~~=dfrac{frac{1}{3}cdotfrac{3}{4}}{frac{1}{3}cdot 1+frac{1}{3}cdotfrac{3}{4}+frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}}=dfrac{frac{3}{4}}{1+frac{3}{4}+frac{1}{2}}=dfrac{3}{4+3+2}=dfrac{1}{3}$

Ответ: 1/3.